주 아이디얼 정역

가환대수학에서, 주 아이디얼 정역(主ideal整域, 영어: principal ideal domain, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.

정의

주 아이디얼 환

주 오른쪽 아이디얼 환(영어: principal right ideal ring)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, $r\in R$ 에 대하여 $rR$ 의 꼴)인 환이다. 주 왼쪽 아이디얼 환(영어: principal left ideal ring)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, $r\in R$ 에 대하여 $Rr$ 의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, 주 아이디얼 가환환(영어: principal ideal commutative ring)이라고 한다.

주 아이디얼 정역

정역 $D$ 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

(B) 베주 정역이다. 즉, 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다.
(D) 데데킨트 정역이다.
(UFD) 유일 인수 분해 정역이다.
(N) 뇌터 환이다.

정역 $D$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다.

주 아이디얼 환이다.
모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.
(N) + 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.^[1]^{: 486, Theorem 12.3}
(UFD) + (D)^[2]^{: 56, Exercise §2.10}
(UFD) + (B)
(UFD) + 크룰 차원이 1 이하이다.^[3]^{: 311, Exercise 5.17}
(UFD) + 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.^[2]^{: 164, Exercise §4.51}
(UFD) + 모든 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 평탄 가군이다.^[2]^{: 164, Exercise §4.51}
(B) + (N)
(B) + 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
(D) + 피카르 군이 자명군이다.^[2]^{: 56, Exercise §2.10}
모든 아이디얼이 자유 가군이다.^[4]^: 273
자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.^[3]^{: 639, Theorem 8.9(i)}

가환환 $R$ 위의 데데킨트-하세 노름(영어: Dedekind–Hasse norm) $f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

임의의 $r,s\in R\setminus \{0\}$ 에 대하여, $r\mid s$ 이거나 아니면 $f(r)<f(t)$ 인 $t\in (r,s)$ 가 존재한다. (여기서 $(r,s)=rR+sR$ 는 $r$ 와 $s$ 로 생성되는 아이디얼이다.)

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 $a,b$ 에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 $(a,b)$ 의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다.

모든 환에서 임의의 극대 아이디얼은 소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 크룰 차원이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 데데킨트 정역에서도 성립한다.

주 아이디얼 정역 위의 가군

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

M\cong \bigoplus _{i}R/(q_{i})

여기서 $(q_{i})$ 는 $R$ 의 으뜸 아이디얼이다. 이를 $M$ 의 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/(d_{i})

R^{\times }\not \ni d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{n}

여기서 $(d_{i})$ 는 $R$ 의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 $M$ 의 불변 인자 분해(영어: invariant factor decomposition)라고 한다.

분류

자리스키-사뮈엘 정리(영어: Zariski–Samuel theorem)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.^[5]^{: 245, Theorem 33}

R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}

여기서

각 $R_{i}$ 는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다.

헝거퍼드 정리(영어: Hungerford theorem)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 이산 값매김환의 몫환이다.^[6]

예

임의의 체는 주 아이디얼 정역이다.
정수환 $\mathbb {Z}$ 는 주 아이디얼 정역이다.
가우스 정수환 $\mathbb {Z} [i]$ 와 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb {Z} [\exp(2\pi i/3)]$ 는 주 아이디얼 정역이다.
$K$ 가 체일 때, $K$ 위의 일변수 다항식환 $K[x]$ 는 주 아이디얼 정역이다.

반례

정수 계수 다항식환 $\mathbb {Z} [x]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(2,x)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 $K$ 에 대하여, $K[x,y]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(x,y)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

가환환

\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]

는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.^[7]

주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역

나눗셈환 $K$ 위의 $\sigma \colon K\to K$ 가 자기 준동형이지만 자기 동형이 아니라고 하자. 그렇다면 힐베르트 뒤틀린 다항식환(영어: Hilbert’s twisted polynomial ring)^[8]^{: 9, Example 1.7}

K[x;\sigma ]=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{i}\in K\}

xa=\sigma (a)x\qquad \forall a\in K

는 다음 성질들을 만족시킨다.^[8]^{: 21, Example 1.25}

주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 왼쪽 뇌터 환이다.)
영역이다.
가환환이 아니다.
오른쪽 뇌터 환이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.)

따라서, 영역의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다.

역사

1949년에 토머스 모츠킨(영어: Thomas Motzkin)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.^[9]

자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(프랑스어: Pierre Samuel)이 증명하였다.^[5]^{: 245, Theorem 33}

헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드(영어: Thomas William Hungerford)가 증명하였다.^[6]

같이 보기

베주 항등식

참고 문헌

↑ Kaplansky, Irving (1949년 7월). “Elementary divisors and modules” (영어). 《Transactions of the American Mathematical Society》 66: 464-491. doi:10.1090/S0002-9947-1949-0031470-3. ISSN 0002-9947.
1 2 3 4 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
1 2 Rotman, Joseph J. (2011). 《Advanced modern algebra》 2판 (영어). Graduate Studies in Mathematics 114. American Mathematical Society. ISBN 978-082184741-1.
↑ Cohn, P. M. (1971). 〈Free ideal rings and free products of rings〉 (영어). 《Actes du Congrès International des Mathematiciens 1970. Tome 1》 (PDF). Gauthier-Villars. 273–278쪽. 2013년 12월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 26일에 확인함.
1 2 Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). 《Commutative algebra. Volume I》 1판 (영어). University Series in Higher Mathematics 28. David Van Nostrand Company. Zbl 0081.26501.
1 2 Hungerford, Thomas William (1968). “On the structure of principal ideal rings” (영어). 《Pacific Journal of Mathematics》 25: 543–547. ISSN 0030-8730. MR 0227159. Zbl 0157.08503.
↑ Wilson, Jack C. (1973년 1월). “A principal ring that is not a Euclidean ring” (영어). 《Mathematics Magazine》 46: 34-38. doi:10.2307/2688577. ISSN 0025-570X. JSTOR 2688577.
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↑ Motzkin, Thomas (1949). “The Euclidean algorithm” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 55: 1142–1146. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8. ISSN 0273-0979. MR 0032592. Zbl 0035.30302.

외부 링크

“Principal ideal ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Principal ideal domain” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Principal ring” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Principal ideal ring” (영어). 《nLab》.
“Principal ideal domain” (영어). 《Commalg》.
“Principal ideal ring” (영어). 《Commalg》.
“Definition: principal ideal domain” (영어). 《ProofWiki》.
“An integral domain whose every prime ideal is principal is a principal ideal domain” (영어). 《Project Crazy Project》. 2010년 11월 3일.
“Exhibit a ring which is a union of PIDs but is not itself a PID” (영어). 《Project Crazy Project》. 2010년 12월 16일.
“PIDs are precisely those UFDs which are also Bezout domains” (영어). 《Project Crazy Project》. 2010년 11월 16일.
“Rings of fractions over a PID are PIDs” (영어). 《Project Crazy Project》. 2010년 11월 5일.
“Every quotient of a PID by a prime ideal is again a PID” (영어). 《Project Crazy Project》. 2010년 10월 31일.
“Integral domains satisfying Bezout’s identity and having divisibility-minimal elements are PIDs” (영어). 《Project Crazy Project》. 2010년 11월 1일.

[1] Kaplansky, Irving (1949년 7월). “Elementary divisors and modules” (영어). 《Transactions of the American Mathematical Society》 66: 464-491. doi:10.1090/S0002-9947-1949-0031470-3. ISSN 0002-9947.

[Lam-2] 1 2 3 4 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

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[4] Cohn, P. M. (1971). 〈Free ideal rings and free products of rings〉 (영어). 《Actes du Congrès International des Mathematiciens 1970. Tome 1》 (PDF). Gauthier-Villars. 273–278쪽. 2013년 12월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 26일에 확인함.

[ZS-5] 1 2 Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). 《Commutative algebra. Volume I》 1판 (영어). University Series in Higher Mathematics 28. David Van Nostrand Company. Zbl 0081.26501.

[Hungerford-6] 1 2 Hungerford, Thomas William (1968). “On the structure of principal ideal rings” (영어). 《Pacific Journal of Mathematics》 25: 543–547. ISSN 0030-8730. MR 0227159. Zbl 0157.08503.

[7] Wilson, Jack C. (1973년 1월). “A principal ring that is not a Euclidean ring” (영어). 《Mathematics Magazine》 46: 34-38. doi:10.2307/2688577. ISSN 0025-570X. JSTOR 2688577.

[Lam01-8] 1 2 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 131. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.

[9] Motzkin, Thomas (1949). “The Euclidean algorithm” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 55: 1142–1146. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8. ISSN 0273-0979. MR 0032592. Zbl 0035.30302.

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