주 아이디얼 정역

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추상대수학에서, 주 아이디얼 정역(主ideal整域, 영어: principal ideal domain, 약자 PID)은 모든 아이디얼주 아이디얼정역이다. 즉, 이는 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.

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  • 정수 계수 다항식환 \mathbb Z[x]는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 (2,x)가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.
  • 유리수 계수 다항식환 \mathbb Q[x]는 주 아이디얼 정역이다.
  • K에 대하여, K[x,y]는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 (x,y)가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

주 아이디얼 정역 상의 가군[편집]

이에 대한 핵심 정리는 주 아이디얼 정역 상의 유한 생성 가군의 구조 정리이다. 이에 따르면, R이 PID이고 M이 유한 생성 R-가군이면 M은 극소 생성 집합을 갖는데, 이는 상의 유한차원 벡터공간기저를 갖는 것을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

성질[편집]

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 a,b에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 (a,b)의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다.

모든 유클리드 정역(ED)은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 참이 아니다. 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아닌 예로 \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]가 있다.[1]

모든 주 아이디얼 정역은 유일인수분해정역이지만 그 역은 참이 아니다. K가 임의의 체일 때, K[X,Y]는 유일인수분해정역이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. (X와 Y로 생성되는 아이디얼 (X,Y)를 생각해 볼 것. 이는 상수 다항식을 포함하므로 환 전체가 아니지만 어떤 한 원소로도 생성될 수 없는 아이디얼이다.)

  1. 모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다.
  2. 모든 환에서 임의의 극대 아이디얼소 아이디얼인데, PID에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.
  3. 모든 P주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫혀 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 [1]