이산 값매김환

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가환대수학에서, 이산 값매김환(離散-環, 영어: discrete valuation ring, 약자 DVR) 또는 이산 부치환(離散賦値環)은 정확히 하나의 0이 아닌 극대 아이디얼을 갖는 주 아이디얼 정역이다. 대수기하학적으로, 대수 곡선비특이점에서의 국소환을 나타낸다. 그 분수체의 원소는 ‘유리형 함수’의 ‘싹’에 해당하며, 원점(유일한 닫힌 점)에서의 ‘극점’ (또는 ‘영점’)의 ‘차수’를 정의할 수 있다. 이 차수는 정수 값이며, 이산 값매김환의 값매김이라고 한다.

정의[편집]

정역이라고 하자. 편의상, 가 만족시킬 수 있는 다음 조건들을 정의하자.

그렇다면, 정역에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 이산 값매김환이라고 한다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

모든 이산 값매김환은 유클리드 정역을 이룬다.

연산에 대한 닫힘[편집]

이산 값매김환 완비화

역시 이산 값매김환이다.

원소의 구조[편집]

이산 값매김환 의 원소 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원소를 균등화원(영어: uniformizing element)이라고 한다.

  • 이다. 즉, 유일한 극대 아이디얼 로 생성되는 주 아이디얼이다. (이산 값매김환은 주 아이디얼 정역이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.)
  • 기약원이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 정역이므로 이 개념이 잘 정의된다.)

균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원 의 경우, 임의의 에 대하여

이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 자연수 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다.

이산 값매김환 의 균등화원 이 주어졌을 때, 의 모든 아이디얼과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다.

  • 속의 모든 아이디얼이거나 또는 어떤 에 대하여 의 꼴이다. (여기서 물론 이다.)
  • 속의 모든 0이 아닌 원소 는 다음과 같이, 가역원의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다.

즉, 이산 값매김환의 곱셈 구조는 그 가역원군 으로서 완전히 결정된다. 물론, 가환환은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다.

대수 곡선의 비특이점의 국소환[편집]

이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이므로, 대수기하학에서 이산 값매김환은 대수 곡선 (1차원 스킴) 의 닫힌 비특이점 에서의 줄기 이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다. 대수적으로 닫힌 체라고 하고, 위의 대수 곡선(1차원 대수다양체)이며, 특이점이 아닌 닫힌 점이라고 하자. 그렇다면, 국소환 은 이산 값매김환이며, 포함 관계

가 성립한다. 또한, 에서 값매김이 0 또는 인 원소들로만 구성된다.

반대로, 대수적으로 닫힌 체이며, 가 이산 값매김환이며, 의 원소들의 값매김이 0 또는 라고 하자. 그렇다면 는 유리 함수체 를 갖는 어떤 위의 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소화이다.[2]:42, Corollary I.6.6 구체적으로, 라고 하고, 다항식환 속에서의 정수적 폐포라고 하자. 그렇다면, 는 데데킨트 정역이자 위의 유한 생성 단위 결합 대수이며, 따라서 위의 아핀 대수 곡선이다. 또한, 의 극대 아이디얼을 이라고 하면, 극대 아이디얼이며, 에서의 국소환와 동형이다.

위상환의 위상[편집]

이산 값매김환 국소 가환환이므로 표준적으로 위상환을 이룬다. 이 위상과 호환되는 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

여기서 은 이산 값매김이다.

이 경우, 이산 값매김환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

스킴 구조[편집]

이산 값매김환 는 (국소환이므로) 유일한 극대 아이디얼 을 가지며, (크룰 차원이 1이므로) 소 아이디얼은 두 개 , 이다. 즉, 이산 값매김환의 스펙트럼 는 두 개의 점을 가진다. 그 가운데 은 닫힌 점, 일반점이다. 특히, 위상 공간으로서 시에르핀스키 공간이다.

이 경우, 이산 값매김환 위의 두 표준적인 환 준동형

은 각각 닫힌 점과 일반점에 대응되는 스킴 사상

에 해당한다.

[편집]

데데킨트 정역의, 0이 아닌 소 아이디얼에서의 국소화는 이산 값매김환이다. 특히, 대수적 수체대수적 정수환은 데데킨트 정역이므로, 대수적 정수환을 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하여 이산 값매김환의 다양한 예를 얻을 수 있다. 예를 들어, 정수환의 0이 아닌 소 아이디얼 에서의 국소화 는 이산 값매김환이다.

대표적인 이산 값매김환의 예는 다음과 같다.

이산 값매김환 값매김 극대 아이디얼 잉여류체 분수체
소수 에 대한 진 정수환 진수체
정수환의 국소화 유리수체
위의 형식적 멱급수환 형식적 로랑 급수체
국소화 유리 함수체
수렴 거듭제곱 급수 원점 근방의 유리형 함수

참고 문헌[편집]

  1. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461. doi:10.1017/CBO9781139171762. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 

외부 링크[편집]