정수적 원소

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가환대수학에서, 정수적 원소(整數的元素, 영어: integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.

정의[편집]

가환환 부분환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 에 대한 정수적 원소라고 한다.

  • 일계수 다항식 가 존재한다.
  • 로 생성되는 부분환 유한 생성 가군이다.
  • 이며 -유한 생성 가군을 이루는 부분환 가 존재한다.
  • 이며 -유한 생성 가군 이 존재한다.

여기서

  • 이다.
  • 소멸자이다.

가환환 부분환 에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 영어: integral closure)는 에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 부분환을 이룬다.

가환환 는 그 전분수환 부분환이다. 만약 속에서의 정수적 폐포가 라면, 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 영어: integrally closed commutative ring)이라고 한다.

도수[편집]

가환환 의 부분환 이 주어졌으며, 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, -가군 소멸자 속의 도수(導手, 영어: conductor 콘덕터[*], 독일어: Führer 퓌러[*], 프랑스어: conducteur 콩뒤크퇴르[*]) 라고 한다.[1]:79

이는 소멸자이므로 아이디얼을 이루며, 아이디얼이자 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.

정역이며, 속의 정수적 폐포라고 하고, -유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 의 소 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 국소화 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.
  • 이다. 즉, 이다.

-가군 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 여집합이다.

나가타 환[편집]

정역 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.

  • 속의 정수적 폐포 -유한 생성 가군이다.

정역 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.

  • 의 모든 유한 확대 에 대하여, 속의 정수적 폐포는 -유한 생성 가군이다.

뇌터 가환환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(영어: Nagata ring)이라고 한다.[2]:264

  • 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 몫환 는 N-2환이다.
  • 임의의 정역 환 준동형 에 대하여, 만약 이를 통하여 -유한 생성 가군을 이룬다면, 는 N-2환이다.

정환[편집]

정역 및 그 분수체 가 주어졌다고 하자. -단위 결합 대수 에 대하여, 속의 -정환(整環, 영어: order, 독일어: Ordnung) 는 다음 조건들을 만족시키는 부분환이다.

  • -단위 결합 대수이다.
  • -자유 가군이다. (즉, -격자를 이룬다.)
  • 이다.

속의 -정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

가환환일 때, 속의 -정환 의 모든 원소는 -정수적 원소이다. 따라서, 최대 -정환이 존재하며, 이는 속의 정수적 폐포이다. (이는 가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역유클리드 정역

정수적으로 닫힐 필요충분조건[편집]

정역 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 정수적으로 닫힌 가환환이다.
  • 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 국소화 는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
  • 임의의 극대 아이디얼 에 대하여, 은 정수적으로 닫힌 국소환이다.

뇌터 정역 에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

  • 정수적으로 닫힌 가환환이다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • 높이가 1인 소 아이디얼 들에 대한 국소화 들의 (분수체 속에서의) 교집합이다.
    • 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 에 대하여, 이산 값매김환이다.

크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

코언-사이던버그 정리[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 가환환
  • 부분환 . 또한, 의 모든 원소는 -정수적 원소이다.
  • -소 아이디얼들의 사슬 -소 아이디얼들의 사슬 (). 또한, 에 대하여 이다. 즉, 이다.

또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.

  • 는 정역이며, 는 ( 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
  • 이다.

그렇다면, 코언-사이던버그 정리(영어: Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 가 되게 소 아이디얼 사슬 를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 -소 아이디얼 가 존재한다.

여기서 라는 것은 임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(영어: going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(영어: going down).

크룰-아키즈키 정리[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. 는 그 전분수환이다.
  • 가환환이며, 단사 함수환 준동형 이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 유한군이다.
  • 속의 정수적 폐포이다.

크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 영어: Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
  • 의 임의의 아이디얼 에 대하여, 만약 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
  • 만약 가 추가로 데데킨트 정역이라면, 역시 데데킨트 정역이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

역사[편집]

코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(영어: Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다.

크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(일본어: 秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다.

모리-나가타 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)[3]나가타 마사요시[4] 가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. 
  2. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative Ring Theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461. doi:10.1017/CBO9781139171762. 
  3. Mori, Yoshiro (1953). “On the integral closure of an integral domain”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 27: 249–256. MR 0058583. 
  4. Nagata, Masayoshi (1955). “On the derived normal rings of Noetherian integral domains”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 29: 293–303. MR 0097388. 

외부 링크[편집]