완비 거리 공간

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기하학에서, 완비 거리 공간(完備距離空間, 영어: complete metric space)은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 거리 공간이다. 완비 거리 공간의 정의는 코시 점렬(Cauchy點列, 영어: Cauchy sequence)이라는 개념을 사용한다. 코시 점렬은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 점렬이다. 즉, 코시 점렬에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 거리 공간이다. 완비 균등 공간의 특수한 경우이다.

정의

코시 점렬

코시 점렬의 예. 코시 점렬에서는 점 사이의 거리가 0으로 수렴한다.

코시 점렬이 아닌 점렬

거리 공간 $(X,d)$ 위의 점렬 $(x_{i})_{i=0}^{\infty }$이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N(\epsilon )\in \mathbb {N}$가 존재한다고 하자.

$d(x_{i},x_{j})<\epsilon \qquad \forall i,j\geq N(\epsilon )$

그렇다면 점렬 $(x_{i})_{i=0}^{\infty }$를 코시 점렬이라고 한다. 실수체 또는 유리수체 속의 코시 점렬은 코시 수열(Cauchy數列)이라고 한다.

임의의 거리 공간 속에서, 모든 수렴하는 점렬은 코시 점렬을 이루며, 모든 코시 점렬은 유계 집합을 이룬다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

상수 점렬 ⊆ 수렴 점렬 ⊆ 코시 점렬 ⊆ 유계 점렬

확대 상수

거리 공간 $(X,d)$ 및 실수 $\mu \in [0,\infty )$에 대하여, 다음 조건이 성립하는지 여부를 물을 수 있다.

• 임의의 점들의 집합 $(x_{i})_{i\in I}$ 및 반지름들의 집합 $(r_{i})_{i\in I}$에 대하여, 만약 $\forall i,j\in I\colon {\bar {B}}(x_{i},r_{i})\cap {\bar {B}}(x_{j},r_{j})\neq \varnothing$이라면, $\textstyle \bigcap _{i\in I}{\bar {B}}(x_{i},\mu r_{i})\neq \varnothing$이다.

거리 공간 $(X,d)$의 확대 상수(擴大常數, 영어: expansion constant)

$E(X)\in [0,\infty ]$

는 위 조건을 만족시키는 모든 실수 $\mu$들의 하한이다.

임의의 거리 공간에 대하여, $E(X)\in \{\infty \}\cup [0,2]$이다.^{:194, 198}

완비 거리 공간

거리 공간 $(X,d)$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

• 모든 코시 점렬이 수렴한다.
• 확대 상수가 유한하다.^{:194, 198}
• 확대 상수가 2 이하이다.^{:194, 198}
• 임의의 닫힌 공들의 감소열 $X\supseteq {\bar {B}}(x_{0},r_{0})\supseteq {\bar {B}}(x_{1},r_{1})\supseteq \cdots$이 주어졌고, 그 반지름들이 0으로 수렴하며 ($\textstyle \lim _{i\to \infty }r_{i}=0$), 모두 공집합이 아니라고 하자 ($r_{i}>0\;\forall i\in \mathbb {N}$). 그렇다면 이들의 교집합은 공집합이 아니다 ($\textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }{\bar {B}}(x_{i},r_{i})\neq \varnothing$).
• 임의의 닫힌집합들의 감소열 $X\supseteq C_{0}\supseteq C_{1}\supseteq C_{2}\cdots$이 주어졌고, 그 지름들이 0으로 수렴하며 ($\textstyle \lim _{i\to \infty }\operatorname {diam} C_{i}=0$), 모두 공집합이 아니라고 하자 ($C_{i}\neq \varnothing \;\forall i\in \mathbb {N}$). 그렇다면 이들의 교집합은 공집합이 아니다 ($\textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}\neq \varnothing$).

성질

완비 거리 공간 속의 닫힌집합은 완비 거리 공간을 이룬다. 반대로, 거리 공간의 부분 집합이 완비 거리 공간을 이룬다면, 이는 닫힌집합이다.

완비화

거리 공간 $(X,d)$의 완비화(完備化, 영어: completion)는 다음과 같다. $X$의 모든 코시 점렬의 집합 $\operatorname {Cauchy} (X)$에 다음과 같은 유사 거리 함수를 주자.

$d((x_{i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{i})_{i\in \mathbb {N} })=\lim _{i\to \infty }d(x_{i},y_{i})$

코시 점렬의 정의에 따라 이 극한은 항상 존재한다. 이를 부여하면, $\operatorname {Cauchy} (X)$는 유사 거리 공간을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 점렬이 존재하므로 거리 공간이 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 점렬들을 서로 동치로 간주하는 동치 관계를 정의하자.

$(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\sim (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }\iff \lim _{i\to \infty }d(x_{i},y_{i})=0$

즉, 무한히 가까워지는 두 코시 점렬들을 같은 동치류에 넣는다. 이렇게 하면, 몫집합 $\operatorname {Cauchy} (X)/{\sim }$ 위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 거리 공간을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를 $X$의 완비화 ${\bar {X}}$라고 한다.

거리 공간 $X$에서 그 완비화 ${\bar {X}}$로 가는 표준적인 함수

$X\hookrightarrow {\bar {X}}$

$x\mapsto [(x,x,x,\ldots )]_{\sim }$

가 존재한다. 이 함수는 $X$의 각 점을 (자명하게 코시 점렬을 이루는) 상수 점렬의 동치류로 대응시킨다. 이는 단사 등거리변환이며, 만약 $X$가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다. $X$는 ${\bar {X}}$의 부분 집합으로서, 조밀 집합이다.

증명(${\bar {X}}$의 완비성):

${\bar {X}}$ 속의 코시 점렬 $([(x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} }])_{n\in \mathbb {N} }$이 주어졌다고 하자. 즉,

㈀$\forall \epsilon >0\exists N\forall n,m>N\exists i_{0}\forall i>i_{0}\colon d(x_{n,i},x_{m,i})<\epsilon$

이다. $X$가 ${\bar {X}}$에서 조밀 집합이므로, 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대하여

㈁$d((x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{n})_{i\in \mathbb {N} })<{\frac {1}{n}}$

이게 되는 $(y_{n})_{i\in \mathbb {N} }\in X$가 존재한다. 또한, 임의의 $j,k,i_{1},i_{2}\in \mathbb {N}$에 대하여,

㈂$d(y_{j},y_{k})\leq d(y_{j},x_{j,i_{1}})+d(x_{j,i_{1}},x_{k,i_{2}})+d(x_{k,i_{2}},y_{k})$

이므로, 위 세 조건에 따라,

㈃$(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \operatorname {Cauchy} (X)$

이다. 또한

㈄$d((x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{i})_{i\in \mathbb {N} })\leq d((x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{n})_{i\in \mathbb {N} })+d((y_{n})_{i\in \mathbb {N} },(y_{i})_{i\in \mathbb {N} })$

이므로, 조건㈁㈃㈄에 따라, $([(x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} }])_{n\in \mathbb {N} }$은 $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$로 수렴한다.

하이네-보렐 정리

이 부분의 본문은 하이네-보렐 정리입니다.

모든 콤팩트 거리 공간은 완비 거리 공간이다. 사실, 하이네-보렐 정리에 따르면, 거리 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완비 완전 유계 공간인 것과 동치이다.

베르의 범주 정리

이 부분의 본문은 베르의 범주 정리입니다.

베르의 범주 정리에 따르면, 모든 완비 거리 공간은 베르 공간이다.

바나흐 부동점 정리

이 부분의 본문은 바나흐 부동점 정리입니다.

바나흐 부동점 정리에 따르면, 완비 거리 공간 $X$ 위의 축소사상 $f\colon X\to X$은 유일한 고정점을 갖는다.

예

실직선 속의 코시 수열

유리수 전체의 집합 $\mathbb {Q}$와 실수 전체의 집합 $\mathbb {R}$에 절댓값으로 정의되는 일반적인 거리 함수 $d$로 정의된 거리 공간 $(\mathbb {Q} ,d)$, $(\mathbb {R} ,d)$가 있을 때, 수열 $\{1/n\}_{n\in \mathbf {N} }$은 코시 수열이다. $\mathbb {R}$, $\mathbb {Q}$ 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.

유리수의 거리 공간 $(\mathbb {Q} ,|\cdot |)$는 완비 거리 공간이 아닌데, 이는 그 안에서 무리수인 ${\sqrt {2}}$로 가까워지는 코시 수열을 만들 수 있기 때문이다. 구체적으로, $x_{n}=\lfloor n{\sqrt {2}}\rfloor /n$ 로 정의된 수열 $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$은 코시 수열이다. $\mathbb {R}$에서는 ${\sqrt {2}}$로 수렴하지만, ${\sqrt {2}}$는 유리수가 아니므로 $\mathbb {Q}$에서는 수렴하지 않는다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 거리 공간 $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$이다.

이산 공간

이산 공간 $X$ 위에 이산 거리 함수

$d(x,y)={\begin{cases}1&x\neq y\\0&x=y\end{cases}}$

를 준다면, 그 속의 점렬 $(x_{i})_{i=0}^{\infty }$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 결국 상수 점렬이다. 즉, $x_{N}=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots$가 되는 자연수 $N\in \mathbb {N}$이 존재한다.
• 수렴 점렬이다.
• 코시 점렬이다.

따라서 이산 공간은 완비 거리 공간을 이룬다.

완비 공간 값의 유계 함수

임의의 집합 $S$ 및 완비 거리 공간 $(X,d)$에 대하여, ${\mathcal {B}}(S,X)$가 유계 함수 $S\to X$들의 집합이라고 하자. 이 위에 다음과 같은 상한 거리 함수를 주자.

$d(f,g)=\sup _{s\in S}d\left(f(x),g(x)\right)\qquad (f,g\in {\mathcal {B}}(S,X))$

그렇다면 ${\mathcal {B}}(S,X)$는 완비 거리 공간을 이룬다.

위상 공간 $S$ 및 완비 거리 공간 $(X,d)$에 대하여, ${\mathcal {CB}}(S,X)\subset {\mathcal {B}}(S,X)$가 연속 유계 함수 $S\to X$들의 집합이라고 하자. 이는 상한 거리 함수에 대하여 닫힌집합을 이루며, 따라서 ${\mathcal {CB}}(S,X)$ 역시 완비 거리 공간을 이룬다.

바나흐 공간

이 부분의 본문은 바나흐 공간입니다.

노름 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 바나흐 공간이라고 한다. 마찬가지로, 내적 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 힐베르트 공간이라고 한다.

역사

역사적으로, 코시 점렬의 개념은 수열의 극한과 급수의 개념을 엄밀하게 정의하려는 시도에서 비롯되었다. 1817년에 베르나르트 볼차노는 중간값 정리에 대한 논문 에서 코시 점렬의 개념을 사용하였으나,^{:§6.4.2, 174–176} 서유럽에서 멀리 떨어진 프라하에서 살던 볼차노의 업적은 당시 널리 주목받지 못했다. 이후 오귀스탱 루이 코시가 1921년에 유명한 저서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(프랑스어: Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique) 에서 급수의 수렴에 대한 조건을 정의하기 위하여 같은 개념을 사용하였다.^{:§6.3.4, 167}

외부 링크

• “Complete metric space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cauchy sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cauchy criteria”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete metric space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Complete space”. 《nLab》 (영어). 
• “Complete topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Cauchy sequence”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: complete metric space”. 《ProofWiki》 (영어). 

같이 보기

• 완비화 (환론)
• 완비 리만 다양체
• 완비 거리화 가능 공간