완비화 는 여기로 연결됩니다. 꽃받침, 꽃잎, 암술과 수술을 모두 갖춘 꽃에 대해서는
갖춘꽃 문서를 참조하십시오.
기하학 에서, 완비 거리 공간 (完備距離空間, 영어 : complete metric space )은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 거리 공간 이다. 완비 거리 공간의 정의는 코시 점렬 (Cauchy點列, 영어 : Cauchy sequence )이라는 개념을 사용한다. 코시 점렬은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 점렬 이다. 즉, 코시 점렬에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리 가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 거리 공간 이다. 완비 균등 공간 의 특수한 경우이다.
코시 점렬 [ 편집 ]
코시 점렬의 예. 코시 점렬에서는 점 사이의 거리가 0으로 수렴한다.
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
위의 점렬
(
x
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}
이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수
N
(
ϵ
)
∈
N
{\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbb {N} }
가 존재한다고 하자.
d
(
x
i
,
x
j
)
<
ϵ
∀
i
,
j
≥
N
(
ϵ
)
{\displaystyle d(x_{i},x_{j})<\epsilon \qquad \forall i,j\geq N(\epsilon )}
그렇다면 점렬
(
x
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}
를 코시 점렬 이라고 한다. 실수체 또는 유리수체 속의 코시 점렬은 코시 수열 (Cauchy數列)이라고 한다.
임의의 거리 공간 속에서, 모든 수렴하는 점렬은 코시 점렬을 이루며, 모든 코시 점렬은 유계 집합 을 이룬다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
상수 점렬 ⊆ 수렴 점렬 ⊆ 코시 점렬 ⊆ 유계 점렬
확대 상수 [ 편집 ]
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
및 실수
μ
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu \in [0,\infty )}
에 대하여, 다음 조건이 성립하는지 여부를 물을 수 있다.
임의의 점들의 집합
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
및 반지름들의 집합
(
r
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (r_{i})_{i\in I}}
에 대하여, 만약
∀
i
,
j
∈
I
:
B
¯
(
x
i
,
r
i
)
∩
B
¯
(
x
j
,
r
j
)
≠
∅
{\displaystyle \forall i,j\in I\colon {\bar {B}}(x_{i},r_{i})\cap {\bar {B}}(x_{j},r_{j})\neq \varnothing }
이라면,
⋂
i
∈
I
B
¯
(
x
i
,
μ
r
i
)
≠
∅
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}{\bar {B}}(x_{i},\mu r_{i})\neq \varnothing }
이다.
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
의 확대 상수 (擴大常數, 영어 : expansion constant )
E
(
X
)
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle E(X)\in [0,\infty ]}
는 위 조건을 만족시키는 모든 실수
μ
{\displaystyle \mu }
들의 하한 이다.
임의의 거리 공간에 대하여,
E
(
X
)
∈
{
∞
}
∪
[
0
,
2
]
{\displaystyle E(X)\in \{\infty \}\cup [0,2]}
이다.[1] :194, 198
완비 거리 공간 [ 편집 ]
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 거리 공간을 완비 거리 공간 이라고 한다.
모든 코시 점렬이 수렴한다.
확대 상수가 유한하다.[1] :194, 198
확대 상수가 2 이하이다.[1] :194, 198
임의의 닫힌 공 들의 감소열
X
⊇
B
¯
(
x
0
,
r
0
)
⊇
B
¯
(
x
1
,
r
1
)
⊇
⋯
{\displaystyle X\supseteq {\bar {B}}(x_{0},r_{0})\supseteq {\bar {B}}(x_{1},r_{1})\supseteq \cdots }
이 주어졌고, 그 반지름들이 0으로 수렴하며 (
lim
i
→
∞
r
i
=
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }r_{i}=0}
), 모두 공집합 이 아니라고 하자 (
r
i
>
0
∀
i
∈
N
{\displaystyle r_{i}>0\;\forall i\in \mathbb {N} }
). 그렇다면 이들의 교집합 은 공집합 이 아니다 (
⋂
i
=
0
∞
B
¯
(
x
i
,
r
i
)
≠
∅
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }{\bar {B}}(x_{i},r_{i})\neq \varnothing }
).
임의의 닫힌집합 들의 감소열
X
⊇
C
0
⊇
C
1
⊇
C
2
⋯
{\displaystyle X\supseteq C_{0}\supseteq C_{1}\supseteq C_{2}\cdots }
이 주어졌고, 그 지름 들이 0으로 수렴하며 (
lim
i
→
∞
diam
C
i
=
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }\operatorname {diam} C_{i}=0}
), 모두 공집합 이 아니라고 하자 (
C
i
≠
∅
∀
i
∈
N
{\displaystyle C_{i}\neq \varnothing \;\forall i\in \mathbb {N} }
). 그렇다면 이들의 교집합 은 공집합 이 아니다 (
⋂
i
=
0
∞
C
i
≠
∅
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}\neq \varnothing }
).
완비 거리 공간 속의 닫힌집합 은 완비 거리 공간을 이룬다. 반대로, 거리 공간 의 부분 집합 이 완비 거리 공간을 이룬다면, 이는 닫힌집합 이다.
완비화 [ 편집 ]
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
의 완비화 (完備化, 영어 : completion )는 다음과 같다.
X
{\displaystyle X}
의 모든 코시 점렬의 집합
Cauchy
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cauchy} (X)}
에 다음과 같은 유사 거리 함수 를 주자.
d
(
(
x
i
)
i
∈
N
,
(
y
i
)
i
∈
N
)
=
lim
i
→
∞
d
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle d((x_{i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{i})_{i\in \mathbb {N} })=\lim _{i\to \infty }d(x_{i},y_{i})}
코시 점렬의 정의에 따라 이 극한은 항상 존재한다. 이를 부여하면,
Cauchy
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cauchy} (X)}
는 유사 거리 공간 을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 점렬이 존재하므로 거리 공간이 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 점렬들을 서로 동치로 간주하는 동치 관계 를 정의하자.
(
x
i
)
i
∈
N
∼
(
y
i
)
i
∈
N
⟺
lim
i
→
∞
d
(
x
i
,
y
i
)
=
0
{\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\sim (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }\iff \lim _{i\to \infty }d(x_{i},y_{i})=0}
즉, 무한히 가까워지는 두 코시 점렬들을 같은 동치류 에 넣는다. 이렇게 하면, 몫집합
Cauchy
(
X
)
/
∼
{\displaystyle \operatorname {Cauchy} (X)/{\sim }}
위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 거리 공간 을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를
X
{\displaystyle X}
의 완비화
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
라고 한다.
거리 공간
X
{\displaystyle X}
에서 그 완비화
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
로 가는 표준적인 함수
X
↪
X
¯
{\displaystyle X\hookrightarrow {\bar {X}}}
x
↦
[
(
x
,
x
,
x
,
…
)
]
∼
{\displaystyle x\mapsto [(x,x,x,\ldots )]_{\sim }}
가 존재한다. 이 함수는
X
{\displaystyle X}
의 각 점을 (자명하게 코시 점렬을 이루는) 상수 점렬 의 동치류 로 대응시킨다. 이는 단사 등거리변환 이며, 만약
X
{\displaystyle X}
가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다.
X
{\displaystyle X}
는
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
의 부분 집합으로서, 조밀 집합 이다.
증명 (
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
의 완비성):
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
속의 코시 점렬
(
[
(
x
n
,
i
)
i
∈
N
]
)
n
∈
N
{\displaystyle ([(x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} }])_{n\in \mathbb {N} }}
이 주어졌다고 하자. 즉,
㈀
∀
ϵ
>
0
∃
N
∀
n
,
m
>
N
∃
i
0
∀
i
>
i
0
:
d
(
x
n
,
i
,
x
m
,
i
)
<
ϵ
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists N\forall n,m>N\exists i_{0}\forall i>i_{0}\colon d(x_{n,i},x_{m,i})<\epsilon }
이다.
X
{\displaystyle X}
가
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
에서 조밀 집합이므로, 임의의
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여
㈁
d
(
(
x
n
,
i
)
i
∈
N
,
(
y
n
)
i
∈
N
)
<
1
n
{\displaystyle d((x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{n})_{i\in \mathbb {N} })<{\frac {1}{n}}}
이게 되는
(
y
n
)
i
∈
N
∈
X
{\displaystyle (y_{n})_{i\in \mathbb {N} }\in X}
가 존재한다. 또한, 임의의
j
,
k
,
i
1
,
i
2
∈
N
{\displaystyle j,k,i_{1},i_{2}\in \mathbb {N} }
에 대하여,
㈂
d
(
y
j
,
y
k
)
≤
d
(
y
j
,
x
j
,
i
1
)
+
d
(
x
j
,
i
1
,
x
k
,
i
2
)
+
d
(
x
k
,
i
2
,
y
k
)
{\displaystyle d(y_{j},y_{k})\leq d(y_{j},x_{j,i_{1}})+d(x_{j,i_{1}},x_{k,i_{2}})+d(x_{k,i_{2}},y_{k})}
이므로, 위 세 조건에 따라,
㈃
(
y
i
)
i
∈
N
∈
Cauchy
(
X
)
{\displaystyle (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \operatorname {Cauchy} (X)}
이다. 또한
㈄
d
(
(
x
n
,
i
)
i
∈
N
,
(
y
i
)
i
∈
N
)
≤
d
(
(
x
n
,
i
)
i
∈
N
,
(
y
n
)
i
∈
N
)
+
d
(
(
y
n
)
i
∈
N
,
(
y
i
)
i
∈
N
)
{\displaystyle d((x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{i})_{i\in \mathbb {N} })\leq d((x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} },(y_{n})_{i\in \mathbb {N} })+d((y_{n})_{i\in \mathbb {N} },(y_{i})_{i\in \mathbb {N} })}
이므로, 조건㈁㈃㈄에 따라,
(
[
(
x
n
,
i
)
i
∈
N
]
)
n
∈
N
{\displaystyle ([(x_{n,i})_{i\in \mathbb {N} }])_{n\in \mathbb {N} }}
은
(
y
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
로 수렴한다.
하이네-보렐 정리 [ 편집 ]
모든 콤팩트 거리 공간 은 완비 거리 공간이다. 사실, 하이네-보렐 정리 에 따르면, 거리 공간 에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완비 완전 유계 공간 인 것과 동치이다.
베르 범주 정리 [ 편집 ]
베르 범주 정리 에 따르면, 모든 완비 거리 공간은 베르 공간 이다.
바나흐 부동점 정리 [ 편집 ]
바나흐 부동점 정리 에 따르면, 완비 거리 공간
X
{\displaystyle X}
위의 축소사상
f
:
X
→
X
{\displaystyle f\colon X\to X}
은 유일한 고정점 을 갖는다.
실직선 속의 코시 수열 [ 편집 ]
유리수 전체의 집합
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
와 실수 전체의 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에 절댓값 으로 정의되는 일반적인 거리 함수
d
{\displaystyle d}
로 정의된 거리 공간
(
Q
,
d
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,d)}
,
(
R
,
d
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,d)}
가 있을 때, 수열
{
1
/
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbf {N} }}
은 코시 수열이다.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.
유리수 의 거리 공간
(
Q
,
|
⋅
|
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,|\cdot |)}
는 완비 거리 공간이 아닌데, 이는 그 안에서 무리수 인
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
로 가까워지는 코시 수열을 만들 수 있기 때문이다. 구체적으로,
x
n
=
⌊
n
2
⌋
/
n
{\displaystyle x_{n}=\lfloor n{\sqrt {2}}\rfloor /n}
로 정의된 수열
{
x
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
은 코시 수열이다.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에서는
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
로 수렴하지만,
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
는 유리수가 아니므로
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
에서는 수렴하지 않는다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 거리 공간
(
R
,
|
⋅
|
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}
이다.
이산 공간 [ 편집 ]
이산 공간
X
{\displaystyle X}
위에 이산 거리 함수
d
(
x
,
y
)
=
{
1
x
≠
y
0
x
=
y
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}1&x\neq y\\0&x=y\end{cases}}}
를 준다면, 그 속의 점렬
(
x
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
결국 상수 점렬이다. 즉,
x
N
=
x
N
+
1
=
x
N
+
2
=
⋯
{\displaystyle x_{N}=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots }
가 되는 자연수
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
이 존재한다.
수렴 점렬이다.
코시 점렬이다.
따라서 이산 공간은 완비 거리 공간을 이룬다.
완비 공간 값의 유계 함수 [ 편집 ]
임의의 집합
S
{\displaystyle S}
및 완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여,
B
(
S
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)}
가 유계 함수
S
→
X
{\displaystyle S\to X}
들의 집합이라고 하자. 이 위에 다음과 같은 상한 거리 함수 를 주자.
d
(
f
,
g
)
=
sup
s
∈
S
d
(
f
(
x
)
,
g
(
x
)
)
(
f
,
g
∈
B
(
S
,
X
)
)
{\displaystyle d(f,g)=\sup _{s\in S}d\left(f(x),g(x)\right)\qquad (f,g\in {\mathcal {B}}(S,X))}
그렇다면
B
(
S
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)}
는 완비 거리 공간을 이룬다.
임의의 코시 점렬
(
f
i
)
i
=
0
∞
⊆
B
(
S
,
X
)
{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq {\mathcal {B}}(S,X)}
이 (상한 거리 함수에 대하여) 수렴함을 보이는 것으로 충분하다. 각
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
에 대하여
(
f
i
(
s
)
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (f_{i}(s))_{i=0}^{\infty }}
는
X
{\displaystyle X}
위의 코시 점렬 이므로,
(
f
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }}
는 어떤 함수
f
:
S
→
X
{\displaystyle f\colon S\to X}
로 점별 수렴하며,
f
{\displaystyle f}
는 자명하게 유계 함수 이다.
(
f
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }}
가 (상한 거리 함수에 대하여)
f
{\displaystyle f}
로 수렴함은 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여,
(
f
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }}
가 코시 점렬 이므로 다음 조건을 만족시키는 자연수
N
(
ϵ
)
∈
N
{\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbb {N} }
가 존재한다.
d
(
f
i
(
s
)
,
f
j
(
s
)
)
<
ϵ
∀
s
∈
S
,
i
,
j
≥
N
(
ϵ
)
{\displaystyle d(f_{i}(s),f_{j}(s))<\epsilon \qquad \forall s\in S,\;i,j\geq N(\epsilon )}
위 조건에서
j
→
∞
{\displaystyle j\to \infty }
를 취하면
d
(
f
i
(
s
)
,
f
(
s
)
)
<
ϵ
∀
s
∈
S
,
i
,
j
≥
N
(
ϵ
)
{\displaystyle d(f_{i}(s),f(s))<\epsilon \qquad \forall s\in S,\;i,j\geq N(\epsilon )}
을 얻으며, 이에 따라
(
f
i
)
i
=
0
∞
{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }}
는
f
{\displaystyle f}
로 수렴한다.
위상 공간
S
{\displaystyle S}
및 완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여,
C
B
(
S
,
X
)
⊂
B
(
S
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {CB}}(S,X)\subset {\mathcal {B}}(S,X)}
가 연속 유계 함수
S
→
X
{\displaystyle S\to X}
들의 집합이라고 하자. 이는 상한 거리 함수에 대하여 닫힌집합 을 이루며, 따라서
C
B
(
S
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {CB}}(S,X)}
역시 완비 거리 공간을 이룬다.
바나흐 공간 [ 편집 ]
노름 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 바나흐 공간 이라고 한다. 마찬가지로, 내적 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 힐베르트 공간 이라고 한다.
역사적으로, 코시 점렬의 개념은 수열 의 극한 과 급수 의 개념을 엄밀하게 정의하려는 시도에서 비롯되었다. 1817년에 베르나르트 볼차노 는 중간값 정리 에 대한 논문[2] 에서 코시 점렬의 개념을 사용하였으나,[3] :§6.4.2, 174–176 서유럽에서 멀리 떨어진 프라하 에서 살던 볼차노의 업적은 당시 널리 주목받지 못했다. 이후 오귀스탱 루이 코시 가 1921년에 유명한 저서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(프랑스어 : Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique )[4] 에서 급수 의 수렴에 대한 조건을 정의하기 위하여 같은 개념을 사용하였다.[3] :§6.3.4, 167
참고 문헌 [ 편집 ]
↑ 가 나 다 Grünbaum, B. (1960). “Some applications of expansion constants” . 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 10 (1): 193–201. MR 0114162 . Zbl 0094.09002 .
↑ Bolzano, Bernard (1817). “Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege” (독일어). Wilhelm Engelmann.
↑ 가 나 Lützen, Jesper (2003). 〈The foundation of analysis in the 19th century〉. Hans Niels Jahnke. 《A history of analysis》 . History of Mathematics (영어) 24 . American Mathematical Society, London Mathematical Society. 155–212쪽. ISBN 978-0-8218-2623-2 .
↑ Cauchy, Augustin-Louis (1821). 《Cours d’Analyse de l’Ecole royale polytechnique. 1. Analyse Algébrique》 (프랑스어). L’Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi.
외부 링크 [ 편집 ]
같이 보기 [ 편집 ]