추상대수학에서 값매김환(-環, 영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화
와 유사한 성질을 가지는 정역이다.
정역
위의 값매김(영어: valuation)
은 다음과 같은 순서쌍이다.
- 아벨 군
. 이를 값군(값群, 영어: value group)이라고 한다.
위의 전순서 ![{\displaystyle \leq \subseteq \Gamma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36cc4d00036c130ee6ac8ee4a5697492c78d51f)
- 군 준동형
![{\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to \Gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d16679e764dfe3fa42ab98bf60a725bd4cc1d5d)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- (전순서의 병진 불변성) 임의의
에 대하여,
라면
이다.
![{\displaystyle D=\{x\in (\operatorname {Frac} D)^{\times }\colon 0\leq \nu (x)\}\cup \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c387ff1d143237b44e6cfc59c6c42091bbac0037)
가 정역이고, 그 분수체가
이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
이거나
이거나
이다.
- 베주 정역이자 국소환이다.
의 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
의 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
- 임의의
에 대하여,
이거나
이다.
- 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.
임의의 값매김환
에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \Gamma =(\operatorname {Frac} D)^{\times }/D^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e591c373b0f75cb81ce75fbb141c9fed09534023)
![{\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae59ca1cbed75afd0e209ecfe82db71a452067c)
![{\displaystyle \nu \colon x\mapsto [x]=x+D^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c876b33c7407fa72a58a4d496c0462a7e860176)
![{\displaystyle [x]\leq [y]\iff xy^{-1}\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6506dc304c92ffabeb2583466fea0e862fe928f9)
즉, 값군
는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김
는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은
이다.
또한, 통상적으로
이며,
이라고 하자. 그렇다면 값매김
는 다음과 같은 성질을 만족한다.
![{\displaystyle \nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb00f7f11c64d5ff3df46abd8c41069ae4c4e1f3)
![{\displaystyle \nu (a+b)\geq \min\{\nu (a),\nu (b)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e931206513a8f07328ceaf90b2f5e1ebcb08424e)
일 필요충분조건은 ![{\displaystyle a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8)
이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식
를 강화한 것이다.
모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.
값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
값매김환의 아이디얼[편집]
값매김
를 갖춘 값매김환
의 아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
값군
의 선분(영어: segment)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합
이다.
- 임의의
에 대하여,
이다. 여기서
는 전순서에 대한 닫힌구간이다.
값군
의 고립 부분군(영어: isolated subgroup)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.
의 진 아이디얼
에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}\mapsto \Gamma \setminus \bigcup _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}\{\nu (a),-\nu (a)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7883a8780026fe247c7dc0626f27ab8cd01197e)
그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
- 이 함수는
의 진 아이디얼들과,
의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
- 이 함수는
의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과,
의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
유리형 함수[편집]
원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.
정수환의 국소화[편집]
가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화
는 이산 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체
, 값매김군은
이다. 이 경우, 그 값매김은
(
는
와 서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 하며, 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다.
p진 정수환[편집]
p진 정수
들의 가환환은 이산 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체
다.
모든 체는 값매김환이다. 체
의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은
밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.
형식적 멱급수환[편집]
임의의 체
에 대하여, 1변수 형식적 멱급수환
은 값매김환이다. 그 분수체는 형식적 로랑 급수의 체
이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다.
![{\displaystyle \nu \left(\sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}x^{i}\right)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon p_{i}\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b5dd24418062866ecc4d91f2f4ac728601ba0f)
(형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.)
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