국소화 (환론)

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환론에서, 국소화(局所化, 영어: localization)는 의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(Ore條件, 영어: Ore condition)이라는 조건이 성립해야 한다.

가환환의 국소화[편집]

보편 성질[편집]

R가환환이고, S\subseteq R가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, RS에 대한 국소화 (S^{-1}R,\phi)는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 S^{-1}R환 준동형 \phi\colon R\to S^{-1}R으로 구성된다.

  1. 임의의 s\in S\subseteq R에 대하여, \phi(s)\in S^{-1}R가역원이다.
  2. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 R'환 준동형 \phi'\colon R\to R'에 대하여, \phi'=\chi\circ\phi이 되는 환 준동형 \chi\colon S^{-1}R\to R'가 유일하게 존재한다.
\begin{matrix}
R&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}R\\
&{\scriptstyle\phi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&R'
\end{matrix}

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

보편 성질S가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 S를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 S가 곱셈 모노이드가 아니고, \bar S가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 S^{-1}R=\tilde S^{-1}R가 된다.

구성[편집]

위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 r,r'\in R, s,s'\in S이고 t(rs'-r's)=0t\in S가 있다면

(r,s)\sim(r',s')

으로 정의한다. 그렇다면 S^{-1}R=(R\times S)/\sim로 놓자. 이는 대략 (r,s)r/s와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 (r,s)r/s로 쓰자.

S^{-1}R 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

\frac rs+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'}
\frac rs\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}.

또한, R\to S^{-1}R로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

r\mapsto\frac r1.

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

비가환환의 국소화[편집]

가환환이 아닐 수 있는 임의의 R 및 부분 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi\colon R\to S^{-1}R를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 \operatorname{Ring}에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,[1]:289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.

  • (A) S^{-1}R의 모든 원소 x에 대하여, xs=r가 되는 s\in Sr\in R가 존재한다.[1]:288, (4.9.1a)
  • (A′) S^{-1}R의 모든 원소 x에 대하여, xs=r가 되는 s\in Sr\in R가 존재한다.
  • (B) \phi\colon R\to S^{-1}R\ker\phi=\{r\in R\colon 0\in rS\}이다.[1]:288, (4.9.1b)
  • (B′) \phi\colon R\to S^{-1}R\ker\phi=\{r\in R\colon 0\in Sr\}이다.
  • (C) R\ne0이며 0\not\in S라면 S^{-1}R\ne0이다.[1]:289, Example (4.9.3)

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 S-가역화 환(普遍S-可逆化環, 영어: universal S-inverting ring)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 \hom_{\operatorname{Ring}}(R,-) 속의, S가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

G_S\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Set}
G_S(R')=\left\{\phi\in\hom_{\operatorname{Ring}}(R,R')\colon \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')\right\}

를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 F_S\dashv G_S를 가지며, 따라서 G_S표현 가능 함자이다. 즉,

G_S(-)=\hom_{\operatorname{Ring}}(F_S(\{\bullet\}),-)

로 생각할 수 있으며, F_S(\{\bullet\})는 국소화 S^{-1}R를 이룬다.

만약 R가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 S^{-1}R는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

구성[편집]

비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.[1]:Proposition (4.9.2) R의 표시

R\cong\langle\{r_i\}_{i\in I}|\{\phi_j\}_{j\in J}\rangle

를 고르자. 즉, 생성원 r_i와 관계 \phi_j로 나타내자. 그렇다면, 각 s\in S에 대하여 생성원 s^*를 추가하고, 또 관계

ss^*=s^*s=1

를 추가하자. 그렇다면

S^{-1}R=\left\langle\{r_i\}_{i\in I}\sqcup\{s^{-1}\}_{s\in S}|\{\phi_j\}_{j\in J}\cup\{ss^*-1\}_{s\in S}\cup\{s^*s-1\}_{s\in S}\right\rangle

는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서, S^{-1}R의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

\sum_{i=1}^nr_i^{(1)}(s_1^{(1)})^{-1}r_i^{(2)}(s_1^{(2)})^{-1}\cdots r_i^{(k_i)}(s_1^{(k_i)})^{-1}

오레 국소화[편집]

비가환환 R의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 R와 부분 모노이드 S\subseteq R오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.

  • Sr \cap Rs \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S
  • \left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad\forall r\in R

마찬가지로, R와 부분 모노이드 S\subseteq R가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.

  • rS \cap sR \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S
  • \left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad\forall r\in R

(R,S)가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 R\times S 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

(r,s)\sim(r',s')\iff\exists \tilde r\in R,\tilde s\in S\colon \tilde ss'-\tilde rs=\tilde sr'-\tilde rr=0

그렇다면 S^{-1}R는 집합으로서 몫집합 (R\times S)/\sim이다. (r,s)의 동치류를 s^{-1}r로 표기하자. S^{-1}R 위의 곱셈은 다음과 같다.

(s^{-1}r)(s'^{-1}r')=(\tilde ss)^{-1}(\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde rs'=\tilde sr)

여기서 \tilde rs'=\tilde sr\tilde r\in R,\tilde s\in S는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"\tilde s^{-1}\tilde r=rs'^{-1}"

로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, S^{-1}R 위의 덧셈은 다음과 같다.

s^{-1}r+s'^{-1}r'=(\tilde ss)^{-1}(\tilde sr+\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde ss=\tilde rs')

여기서 \tilde ss=\tilde rs'\tilde r\in R,\tilde s\in S는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"\tilde s^{-1}\tilde r=ss'^{-1}"

로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는

"s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+\tilde s^{-1}\tilde rr'\right)
=s^{-1}\tilde s^{-1}\left(\tilde sr+\tilde rr'\right)
=(\tilde ss)^{-1}\left(\tilde sr+\tilde rr'\right)
"

로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 S^{-1}R를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.[1]:Corollary (4.10.11)

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

가군의 국소화[편집]

R의 곱셈에 대한 부분 모노이드 S\subseteq RR 위의 왼쪽 가군 M이 주어졌다고 하자. 그렇다면, MS에서의 국소화 S^{-1}MS^{-1}R 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

S^{-1}M=S^{-1}R\otimes_RM

또한, 표준적인 R-왼쪽 가군 사상 \phi\colon M\to S^{-1}M가 존재한다.

이는 함자

(S^{-1}R\otimes_R)\colon {{}_R\operatorname{Mod}}\to{{}_{S^{-1}R}\operatorname{Mod}}

를 정의하며, 환 준동형 R\to S^{-1}R에 의한 망각 함자

F\colon{{}_{S^{-1}R}\operatorname{Mod}}\to {{}_R\operatorname{Mod}}

왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 R-왼쪽 가군준동형 \phi_N\colon M\to N에 대하여, 만약 임의의 s\in S에 대하여 s\cdot\colon N\to N전단사 함수라면, \phi_N=\chi\circ\phiR-왼쪽 가군 준동형 \chi\colon S^{-1}M\to N이 존재한다.

\begin{matrix}
M&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}M\\
&{\scriptstyle\phi_N}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&N
\end{matrix}

구성[편집]

R가환환일 때, 가군의 국소화 S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes_RM는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

S\times M 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

(s,m)\sim(s',m')\iff\exists t\in S\colon ts'm=tsm'

S^{-1}M은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. (s,m)\in S\times M동치류m/s로 표기하자. 그렇다면, S^{-1}M 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

\frac ms+\frac{m'}{s'}=\frac{s'm+sm'}{ss'}\qquad\forall m,m'\in M,\;s,s'\in S
\frac rs\frac m{s'}=\frac{rm}{ss'}\qquad\forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R

성질[편집]

소 아이디얼[편집]

가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 국소화 \phi\colon R\to S^{-1}R소 아이디얼들은 R의 소 아이디얼 가운데 S서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

f\colon\operatorname{Spec}(S^{-1}R)\to\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\cap S=\varnothing\}
f\colon\mathfrak q\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak q)

여기서 \phi\colon R\to S^{-1}R는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, R소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, R_{\mathfrak p}국소환이며, 유일한 극대 아이디얼\mathfrak p에 대응한다.

국소화의 단사성과 전사성[편집]

가환환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환 R 위의 단사 가군 I 및 임의의 원소 r\in R에 대하여, I\to I_r전사 함수이다.[2]:214, Lemma III.3.3

오레 조건의 필요충분성[편집]

R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:300, Theorem (4.10.6)

  • (R,S)는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
  • 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 \phi\colon R\to R'이 존재한다.
    • \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')
    • R'=\phi(S)^{-1}\phi(R)
    • \ker\phi=\{r\in R\colon 0\in Sr\}

또한, 이러한 조건을 만족시키는 \phi\colon R\to R'는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.[1]:302, Corollary (4.10.11)

마찬가지로, 환 R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • (R,S)는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
  • 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 \phi\colon R\to R'이 존재한다.
    • \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')
    • R'=\phi(R)\phi(S)^{-1}
    • \ker\phi=\{r\in R\colon 0\in rS\}

특히, 만약 R가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

[편집]

(비가환일 수 있는) R 및 곱셈 모노이드 S\subseteq R가 주어졌다고 하자.

  • 0\in S이라고 하자. 그렇다면 항상 S^{-1}R=0 (자명환)이다. 만약 R가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
  • S=\{1\}이라고 하자. 그렇다면 항상 S^{-1}R=R이다.

분수체[편집]

(곱셈 항등원을 갖는) R에 대하여,

S=R\setminus\left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, (R,S)가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 S^{-1}RR전분수환 \operatorname{Frac}R라고 한다.

특히, 만약 R가 (가환) 정역이라면 S=R\setminus\{0\}이며, \operatorname{Frac}R를 이룬다. 이 경우, \operatorname{Frac}R분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 S\subseteq R\setminus\{0\}가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 R\to S^{-1}R은 다음과 같이 R\to\operatorname{Frac}R의 일부분을 이룬다.

R\to S^{-1}R\to\operatorname{Frac}R

이에 따라 S^{-1}R는 항상 분수체 \operatorname{Frac}R부분환을 이룬다.

정수환[편집]

정수환 \mathbb Z소 아이디얼소수주 아이디얼 (p) 또는 영 아이디얼 (0)이다.

정수환 \mathbb Z를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

\mathbb Z_{(p)}=\{m/n\colon\gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq\mathbb Q
\mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q

즉, 분모가 p의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, \mathbb Z_{(p)}이산 값매김환이며, \mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q이다.

정수환의 \mathbb Z를 원소 k\in\mathbb Z에서 국소화하면 다음과 같다.

\mathbb Z_k=\{m/k^n\colon\gcd\{m,k\}=1,\;n\in\mathbb N\}\subsetneq\mathbb Q\qquad(k\ne0)
\mathbb Z_0=0 (자명환)

즉, 분모가 k의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 \mathbb Z_p로 표기되는 p진 정수의 환와 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

정수환의 몫환[편집]

정수환몫환 R=\mathbb Z/(n)을 생각해 보자. n소수의 거듭제곱이라면 S=\{1\}이거나 0\in S이다. 만약 n=ab이고, ab가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 \mathbb Z/ab=\mathbb Z/a\times\mathbb Z/b이다. 그렇다면 S=\{(1,0),(1,1)\}이 가능한데, 이 경우 S^{-1}R=\mathbb Z/b이다.

비가환환의 자명한 국소화[편집]

K 및 정수 n\ge2에 대하여, 행렬환 \operatorname{Mat}(K;n)을 생각하자. E_{i,j}(i,j)에서 성분 1\in K을 가지며, 나머지 성분이 모두 0\in K인 행렬이라고 하자. 그렇다면, S=\{1,E_{i,j}\}일 때, 국소화 S^{-1}\operatorname{Mat}(K;n)자명환이다.[1]:289–290, Example (4.9.3)

응용[편집]

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.[2]:xvi

  • 원소 f\in R가 주어진 경우, R_fS=\{1,f,f^2,f^3,\dots\}에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 f가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 U_f\subset\operatorname{Spec}R에 국한한 것이다.
    • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 k[x]의 경우 k[x]_x=k[x,x^{-1}]는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 \{x\ne0\}=\mathbb A^1_k\setminus\{0\} 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, \{x\ne0\}으로 국한된 것을 알 수 있다.
  • 소 아이디얼 \mathfrak p\in R가 주어진 경우, R_{\mathfrak p}S=R\setminus\mathfrak p에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R자리스키 폐포 V(\mathfrak p)근방에 국한한 것이다.

역사[편집]

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역분수체를 도입하였다.[3][4]:299[5]:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.[1]:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.[6]:466[4]:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.[1]:300)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레[7]와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)[8]가 도입하였다.[5]:57

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  3. Grell, H. (1927). “Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 97: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831. 
  4. Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)”. 《The American Mathematican Monthly》 (영어) 110 (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879. 
  5. Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001. 
  6. Ore, Oystein (1937년 7월). “Linear equations in non-commutative fields”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 32 (3): 463–477. doi:10.2307/1968245. JSTOR 1968245. 
  7. Chevalley, C. (1944). “On the theory of local rings”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 44: 690–708. doi:10.2307/1969105. JSTOR 1969105. 
  8. Узков, Александр Илларионович (1948). “О кольцах частных коммутативных колец”. 《Математический сборник》 (러시아어) 13: 71–78. MR 26041. Zbl 0035.01903. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]