소 아이디얼

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환론에서, 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.

정의[편집]

R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.

  • 임의의 두 양쪽 아이디얼 \mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak a\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak b\subseteq\mathfrak p이다.[1]:155, Definition 10.1
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 (r)(s)\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rRs\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 왼쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • R\setminus\mathfrak p는 m계를 이룬다.[1]:156, Corollary 10.4
  • 몫환 R/\mathfrak a소환이다.[1]:158

여기서 환 R의 부분 집합 S\subseteq R가 다음 조건을 만족시킨다면 m계(m系, 영어: m-system)라고 한다.

  • 임의의 s,t\in S에 대하여, srt\in Sr\in R가 존재한다.

물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

완전 소 아이디얼[편집]

R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, 영어: completely prime ideal)이라고 한다.

  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.
  • 몫환 R/\mathfrak p영역이다.[1]:194
  • R\setminus\mathfrak p는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

소원[편집]

소환 R의 원소 p\in R가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 소원(素元, 영어: prime element)이라고 한다.[2]:§4.2

  • pR=Rp
  • p\ne0
  • pR는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 모든 t\in R에 대하여 p\mid rts라면, p\mid r이거나 p\mid s이다. (여기서 p\mid aa\in Rp=pR를 뜻한다.)

마찬가지로, 소환 R의 원소 p\in R가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 완전 소원(完全素元, 영어: completely prime element)이라고 한다.[2]:§4.2

  • pR=Rp
  • p\ne0
  • pR는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 p\mid rs라면 p\mid r이거나 p\mid s이다.

물론 pR=Rp인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다.

(가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,[3]:284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.[3]:284

3\mid 9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt5)
3\nmid2+\sqrt{-5}
3\nmid2-\sqrt{-5}

성질[편집]

일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼

그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
  • 소환이다.

임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
  • 영역이다.

(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)

자명환이 아닌 환은 초른의 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 R의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

함자성[편집]

R, S 사이의 환 준동형 f\colon R\to SS의 완전 소 아이디얼 \mathfrak p\vartriangleright S에 대하여, 그 원상 f^{-1}(\mathfrak p)R의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, R의 완전 소 아이디얼들의 집합을 \operatorname{compSpec}(R)라고 한다면, 이는 함자

\operatorname{compSpec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

를 정의한다.

가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 R의 소 아이디얼의 집합 \operatorname{Spec}(R)위상 공간스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴범주 \operatorname{Sch}로 가는 함자

\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sch}

를 정의한다.

소 아이디얼 원리[편집]

R양쪽 아이디얼들의 집합 \mathcal F\subseteq\operatorname{Sub}(R_R)가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, 오카 족([岡]族, 영어: Oka family)이라고 한다.[4]:Definition 2.1[5]:Definition 2.1

소 아이디얼 원리(영어: prime ideal principle)에 따르면,[4]:Theorem 3.4[5]:2.4 \mathcal F R의 오카 족이라고 할 때, \mathcal F여집합 \operatorname{Sub}(_RR_R)\setminus\mathcal F극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 \operatorname{Sub}(_RR_R)R의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.)

특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.

  • R의 m계 S\subseteq R에 대하여, S와 교차하는 양쪽 아이디얼들의 족 \{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\}은 오카 족이다.[4]:Proposition 3.1
    • 가환환 R의 임의의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, S와 교차하는 아이디얼들의 족 \{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon\mathfrak a\cap S\ne\varnothing\}은 오카 족이다.[5]:Proposition 3.1
  • R오른쪽 가군 M_R에 대하여, \{\mathfrak a\vartriangleleft R\colon N\mathfrak a\ne0\;\forall N_R\subseteq M_R,\; N_R\ne0\}는 오카 족이다.[4]:Proposition 3.5
    • 가환환 R의 가군 M에 대하여, \operatorname{Ideal}(R)\setminus\{\operatorname{Ann}_R(m)\colon m\in M\setminus\{0\}\}은 오카 족이다.[5]:Proposition 3.5 (여기서 \operatorname{Ann}(-)소멸자를 뜻한다.)
  • R의 곱셈 모노이드 S\subseteq R에 대하여, 만약 모든 s\in S에 대하여 sR=Rs라면, \{Rs=sR\colon s\in S\}는 오카 족이다.[4]:Proposition 4.1
  • 가환환 R유한 생성 아이디얼들의 족은 오카 족이다.[5]:Proposition 3.16 (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.[4]:§2)

소 아이디얼 회피[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

소 아이디얼 회피 정리(素ideal回避定理, 영어: prime avoidance)에 따르면, 다음이 성립한다.[6]

  • S\not\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i

즉, S가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.

증명:

n에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. n=1인 경우는 자명하다. n\ge2일 때, 귀납 가정에 의하여 각 1\le i\le n에 대하여

s_i\in S\setminus\bigcup_{j\ne i}\mathfrak a_j

를 고를 수 있다. 그렇다면

S\setminus\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i\ni s=
\begin{cases}
s_i&\exists 1\le i\le n\colon s_i\not\in\mathfrak a_i\\
s_1\cdots s_{n-1}+s_n&\forall 1\le i\le n\colon s_i\in\mathfrak a_i
\end{cases}
이다.

가환환의 소 아이디얼[편집]

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼반소 아이디얼으뜸 아이디얼반소 아이디얼으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

가환환 R의 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • \mathfrak p는 소 아이디얼이다.
  • \mathfrak p는 완전 소 아이디얼이다.
  • R/\mathfrak p정역이다.

가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p의 여집합 R\setminus\mathfrak p가 모노이드를 이루므로, R\setminus\mathfrak p에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 (R\setminus\mathfrak p)^{-1}R국소환을 이룬다.

가환환의 준동형 f\colon R\to SS의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, f^{-1}(\mathfrak p)R의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.

  • 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.
  • 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

높이[편집]

가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R높이 \operatorname{ht}\mathfrak p는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.

\operatorname{ht}\mathfrak p=\max\{n\colon\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\}

특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(極小素ideal, 영어: minimal prime ideal)이라고 한다.

예를 들어,

[편집]

정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼들은 소수일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 pp배수들로 구성된 아이디얼 p\mathbb Z=\{np\colon n\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 p가 두 정수의 곱 ab를 나누면 pab 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, \mathfrak p\ne R이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

역사[편집]

역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Smertnig, Daniel (2015). “Factorizations of elements in noncommutative rings: A survey” (영어). arXiv:1507.07487. Bibcode:2015arXiv150707487S. 
  3. Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 
  4. Reyes, Manuel L. “A prime ideal principle for two-sided ideals” (영어). arXiv:1501.06808. Bibcode:2015arXiv150106808R. 
  5. Lam, T. Y.; Reyes, Manuel L. (2008). “A prime ideal principle in commutative algebra” (PDF). 《Journal of Algebra》 (영어) 319: 3006–3027. doi:10.1016/j.jalgebra.2007.07.016. 
  6. Karamzadeh, Omid Ali Shahny. “The prime avoidance lemma revisited”. 《Kyungpook Mathematical Journal》 (영어) 52: 149–153. doi:10.5666/KMJ.2012.52.2.149. ISSN 1225-6951. 
  7. Krull, Wolfgang (1928). “Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen”. 《Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften》 (독일어) 7: 3-14. JFM 54.0156.01. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]