단순환

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환론에서, 단순환(單純環, 영어: simple ring)은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 이다. 군론에서의 단순군(정규부분군을 갖지 않는 )에 대응되는 개념이다.

정의[편집]

(곱셈 항등원을 갖는) 가 다음 두 성질을 만족시킨다면, 단순환이라고 한다.

  • 이다. 즉, 자명환이 아니다.
  • 의 모든 (양쪽) 아이디얼 에 대하여, 이거나 이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 중심 은 항상 이다. (이는 임의의 에 대하여, 이라면 주 아이디얼 이므로 가역원이기 때문이다.) 위의 단위 결합 대수 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 위의 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

  • 는 단순환이다.
  • 는 유한하다. 즉, 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
  • 이다. 즉, 중심이 정확하게 이다.

즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

성질[편집]

극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 나눗셈환은 단순환이다.

어떤 환 에 대한 행렬환 의 아이디얼은 의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

스콜렘-뇌터 정리[편집]

위의 단순 대수 와 중심 단순 대수 가 주어졌다고 하자. 스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 임의의 두 -단위 결합 대수 준동형

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 이 존재한다.

특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 이다.

분류[편집]

단순환에 대하여 왼쪽 아르틴 환오른쪽 아르틴 환 조건이 서로 동치이다. 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.[1]:154, Theorem 5.3

여기서 나눗셈환이며, 는 환 에 대한 행렬환이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, 은 유일하게 결정된다. 구체적으로, 왼쪽 아르틴 환이라고 하자. 는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 는 항상 유한 차원 자유 가군이며, 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 이다. 즉, 으로 놓으면, 이며, 또한 이다.

만약 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 브라우어 군으로 결정된다.

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모든 와 모든 나눗셈환은 단순환이다.

바일 대수 는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다.

자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다.

역사[편집]

1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며,[2] 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.[3][4]:189, §5

참고 문헌[편집]

  1. Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). 《Noncommutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 144. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6936-6. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4612-0889-1. 
  2. Skolem, Thoralf (1927). “Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme”. 《Skrifter Oslo》 (독일어) (12): 50. JFM 54.0154.02. 
  3. Noether, Emmy. “Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 30 (1): 641–692. ISSN 0025-5874. doi:10.1007/BF01187794. 
  4. Bayer, Pilar (2009). 〈Emmy Noether: de l’àlgebra no commutativa a la theoria de nombres〉 (PDF). 《Acte Inaugural Curs Noether: The Emmy Noether Heritatge》 (카탈루냐어). 카탈루냐 공과대학교. 169–203쪽. 

외부 링크[편집]