으뜸 아이디얼

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가환대수학에서, 으뜸 아이디얼(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

정의[편집]

으뜸 부분 가군[편집]

R왼쪽 가군 _RM이 다음 성질을 만족시킨다면, _RM여으뜸 왼쪽 가군(餘-加群, 영어: coprimary left module)이라고 한다.[1]:185, §3

  • 임의의 r\in Rm\in M\setminus\{0\}에 대하여, 만약 rRm=\{0\}이라면, r\in\sqrt{\operatorname{Ann}(_RM)}이다.

여기서 \operatorname{Ann}소멸자이며, \sqrt{}소근기(즉, 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합)이다. 만약 R가환환이라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 r\in Rm\in M에 대하여, 만약 rm=0이라면, m=0이거나 아니면 충분히 큰 n\in\mathbb Z^+에 대하여 r^nM=\{0\}이다.

R왼쪽 가군 _RM으뜸 부분 가군(영어: primary submodule) N\subseteq MM/N이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

_RR의 으뜸 부분 가군을 으뜸 왼쪽 아이디얼(영어: primary left ideal)이라고 한다.

삼종 아이디얼[편집]

R왼쪽 가군 _RM이 주어졌을 때, \operatorname{ter}_RM\subseteq R을 다음과 같이 정의하자.[1]:185, §3[2]:22-02, Définition 1.1

\operatorname{ter}_RM=\{r\in R\colon\forall m\in M\setminus\{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\ne0\}

R 위의 왼쪽 가군 _RM이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 여삼종 가군(餘三種加群, 영어: cotertiary module)이라고 한다.[1]:185, §3[2]:22-02, Définition 2.1

  • 임의의 r\in Rm\in M\setminus\{0\}에 대하여, 만약 rRm=\{0\}이라면, r\in\operatorname{ter}_RM이다.

소 아이디얼 \mathfrak p이 주어졌을 때, \operatorname{Ass}(_RM)=\{\mathfrak p\}왼쪽 가군 _RM\mathfrak p-여삼종 가군(영어: \mathfrak p-cotertiary module)이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환 R위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:Théorème 2[1]:186[4]:161, §VII.1

M의 가군 M의 부분 가군 N에 대하여, 만약 몫가군 M/N이 여삼종 가군이라면, N삼종 부분 가군(영어: tertiary submodule)이라고 한다.

R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 항상

\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}\subseteq\operatorname{ter}_RM

이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 R가환환이라면

\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}=\operatorname{ter}_RM

이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

가환환의 경우[편집]

가환환 R의 아이디얼 \mathfrak q에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 R으뜸 아이디얼이라고 한다.

  • R의 으뜸 부분 가군이다.
  • R의 삼종 부분 가군이다.
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak q라면 r\in\mathfrak q이거나, s^n\in\mathfrak q인 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이 존재한다.
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak q라면 r\in\mathfrak q이거나, s\in\mathfrak q이거나, 아니면 r,s\in\sqrt{\mathfrak q}이다. 여기서 \sqrt{}소근기이다.
  • R/\mathfrak q의 모든 영인자멱영원이다.

성질[편집]

가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼극대 아이디얼

특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 R의 전체 아이디얼 (1)=R 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 \mathfrak q소근기소 아이디얼 \mathfrak p이면, \mathfrak q\mathfrak p-으뜸 아이디얼(영어: \mathfrak p-primary ideal)이라고 한다. 반대로, 소근기극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 소근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

공으뜸 가군[편집]

뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 M에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

으뜸 분해[편집]

왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 R 위의 유한 생성 왼쪽 가군 _RM의 부분 가군 _RN에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 N_1,\dots,N_k\subseteq M소 아이디얼 \{\mathfrak p_i\}=\operatorname{Ass}(_RM/N_i)들이 존재한다.[4]:162, Proposition VII.1.13[1]:186

  • N=N_1\cap N_2\cap\cdots\cap N_k
  • 임의의 i=1,\dots,k에 대하여, N\ne N_1\cap N_2\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap\cdots\cap N_k
  • \operatorname{Ass}(_RN)유한 집합이며, 그 크기는 k이며, 또한 \operatorname{Ass}_k(N_i)=\{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k\}이다.
  • 임의의 1\le i,j\le k에 대하여, i\ne j라면 \mathfrak p_i\ne\mathfrak p_j이며 N_i\ne N_j이다.

이를 N삼종 분해(영어: tertiary decomposition)라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.[4]:162, Proposition VII.1.13[1]:186

  • N의 두 삼종 분해 \{(N_i,\mathfrak p_i)\}_{1\le i\le k}, \{(N_j',\mathfrak p_j')\}_{1\le j\le k'}가 주어졌을 때, k=k'이며, \mathfrak p_i=\mathfrak p'_{\sigma(i)}가 되는 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}\{1,\dots,k\}이 존재한다. (그러나 N_i=N'_{\sigma(i)}일 필요는 없다.)

만약 R뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 으뜸 분해라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은 라스커-뇌터 정리(영어: Lasker–Noether theorem)라고 한다.

구체적으로, 뇌터 가환환 R의 아이디얼 \mathfrak a의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.

  1. 만약 \mathfrak a가 으뜸 아이디얼이라면, \{\mathfrak a\}는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, rs\in\mathfrak ar,s \in R\setminus\sqrt{\mathfrak a}를 찾을 수 있다.
  2. \mathfrak a:r^\infty=\mathfrak a:r^n이 되는 충분히 큰 자연수 n\in\mathbb N을 찾는다.
  3. 그렇다면, \mathfrak a=(\mathfrak a+r^nR)\cap(\mathfrak a:r^n)이므로, \mathfrak a+r^nR\mathfrak a:r^n의 으뜸 분해를 찾으면 \mathfrak a의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. (\mathfrak a+r^nR\mathfrak a:r^n\mathfrak a보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)

여기서

\mathfrak a:r^\infty=\bigcup_{n=0}^\infty(\mathfrak a:r^n)
\mathfrak a:r^n=\{s\in R\colon sr^n\in\mathfrak a\}

이다.

[편집]

정수환 \mathbb Z주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 p로 생성되는 주 아이디얼 (p)이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 p^n (n\in\mathbb Z^+)으로 생성되는 주 아이디얼 (p^n)이다.

소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼[편집]

대수적으로 닫힌 체 K에 대하여, K[x,y,z]/(xy-z^2)를 생각하자. 이 경우,

\mathfrak p=(x,z)

라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, \mathfrak p^2=(x^2,z^2,xz)소근기 \sqrt{\mathfrak p^2}=\mathfrak p는 소 아이디얼이다. 그러나 \mathfrak p^2는 으뜸 아이디얼이 아니다.

xy=z^2\in\mathfrak p^2

이지만,

x\not\in\mathfrak p^2
y^n\not\in\mathfrak p^2\forall n\in\mathbb Z^+

이기 때문이다. \mathfrak p^2의 으뜸 분해는

\mathfrak p^2=(x)\cap(x^2,xz,y)

이다.

역사[편집]

소인수 분해정수환에서 보다 일반적인 으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체대수적 정수환유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고,[5] 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다.[6]:44, §5, Satz IX 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(프랑스어: Léonce Lesieur)와 로베르 크루아조(프랑스어: Robert Croisot)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.[2][3][7][8]

참고 문헌[편집]

  1. Riley, John A. (1962년 11월). “Axiomatic primary and tertiary decomposition theory”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 105 (2): 177–201. doi:10.1090/S0002-9947-1962-0141683-4. ISSN 0002-9947. MR 0141683. 
  2. Croisot, Robert (1957년 5월 20일). “Exposé № 22. Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demi-groupes non nécessairement commutatifs (exposé d’une partie d’un mémoire de L. Lesieur et R. Croisot, à paraître au Math. Zeitschrift)”. 《Séminaire P. Dubreil et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres》 (프랑스어) 10. Zbl 0116.02405. 
  3. Lesieur, Léonce (1958년 2월 17일). “Exposé № 14. Théorie noethérienne des anneaux non commutatifs: une propriété caractéristique des idéaux tertiaires”. 《Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres》 (프랑스어) 11 (2). Zbl 0116.26405. 
  4. Stenström, Bo (1975). 《Rings of quotients: an introduction to methods of ring theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 217. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-66066-5. ISBN 978-3-540-07117-4. ISSN 0072-7830. 
  5. Lasker, E. (1905). “Zur Theorie der Moduln und Ideale”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 60: 19–116. doi:10.1007/BF01447495. ISSN 0025-5831. 
  6. Noether, E. (1921). “Idealtheorie in Ringbereiche”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 83: 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831. 
  7. Lesieur, Léonce; Croisot, Robert (1960). “Extension au cas non commutatif d’un théorème de Krull et d’un lemme d’Artin-Rees. À M. Wolfgang Krull, à l’occasion de son 60e anniversaire”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (프랑스어) 204: 216–220. doi:10.1515/crll.1960.204.216. ISSN 0075-4102. MR 0131436. 
  8. Lesieur, Léonce; Croisot, Robert (1963). 《Algèbre nœthérienne non commutative》. Mémorial des sciences mathématiques (프랑스어) 154. Gauthier-Villars & Cie. MR 155861. Zbl 0115.02903. 

바깥 고리[편집]