반소 아이디얼

환론에서 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, 영어: prime radical)라고 한다.

정의

소근기

환 $R$ 속의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq R$의 소근기(素根基, 영어: prime radical) 또는 단순히 근기(根基, 영어: radical) ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.^{:156, Theorem 10.7} 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

${\sqrt {\mathfrak {a}}}=\bigcap \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\}\subseteq \{r\in R\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$

여기서 $\operatorname {Spec} R$는 $R$의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, ${\mathfrak {a}}$를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

가환환의 경우

가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.

• ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$
• $\{r\in R|\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$. 즉, 충분히 거듭제곱하면 ${\mathfrak {a}}$의 원소가 되는 것들의 집합이다.
• $R/{\mathfrak {a}}$의 멱영원들의 집합 $N$에 대하여, $\{r\in R\colon [r]\in N\}$. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

반소 아이디얼

환 $R$ 속의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, 영어: radical ideal)이라고 한다.

• 임의의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {b}}\subseteq R$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$에 대하여 ${\mathfrak {b}}^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$라면, ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$이다.^{:157, Definition 10.8}
• 임의의 왼쪽 아이디얼 $B\subseteq R$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$에 대하여 $B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$라면, ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$이다.^{:157, Proposition 10.9(4)}
• 임의의 오른쪽 아이디얼 $B\subseteq R$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$에 대하여 $B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$라면, ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$이다.^{:157, Proposition 10.9(4)′}
• 임의의 $r\in R$에 대하여, 만약 $rRr\subseteq {\mathfrak {a}}$라면 $r\in {\mathfrak {a}}$이다.^{:157, Proposition 10.9(3)}
• $R\setminus {\mathfrak {a}}$는 n-계를 이룬다.
• ${\mathfrak {a}}=\bigcap {\mathcal {P}}$인, 소 아이디얼들의 집합 ${\mathcal {P}}\subseteq \operatorname {Spec} R$이 존재한다.^{:157, Proposition 10.11(2)}
• 스스로의 소근기와 같다. 즉, ${\mathfrak {a}}={\sqrt {\mathfrak {a}}}$이다.^{:157, Proposition 10.11(3)}

여기서 $\operatorname {Spec} R$는 $R$의 소 아이디얼들의 집합이며, n-계(영어: n-system)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subseteq R$이다.

$\forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S$

가환환의 경우

가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반소 아이디얼이다.
• 임의의 $r\in R$ 및 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, 만약 $r^{n}\in {\mathfrak {a}}$라면 $r\in {\mathfrak {a}}$이다.
• 임의의 $r\in R\setminus {\mathfrak {a}}$에 대하여, $\{r,r^{2},r^{3},\dots \}\subseteq R\setminus {\mathfrak {a}}$이다.

성질

환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

극대 아이디얼 ⊂ 완전 소 아이디얼 =	소 아이디얼	⊂	반소 아이디얼
	∩		∩
	으뜸 아이디얼	⊂	아이디얼

사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 ${\sqrt {(0)}}$는 하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다.

예

정수환

정수환 $\mathbb {Z}$에서, $(n)$이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 $n$이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, $(0)$이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다. 정수환 $\mathbb {Z}$의 경우, 아이디얼 $\mathbb {Z} /m$의 소근기는 다음과 같다.

${\sqrt {\mathbb {Z} /m}}=\mathbb {Z} /\left(\prod _{p\mid m}p\right)$

여기서 $\prod _{p\mid m}p$는 $m$의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

${\sqrt {\mathbb {Z} /12}}=\mathbb {Z} /6$

이다.

다항식환

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

$\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})^{n_{i}}\in K[x]\qquad (i\neq j\implies a_{i}\neq a_{j})$

으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

${\sqrt {\left(\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})^{n_{i}}\right)}}=\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})$

데데킨트 정역

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 $R$에서, 영 아이디얼이나 $R$가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

$\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}^{n({\mathfrak {p}})}$

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

${\sqrt {\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}^{n({\mathfrak {p}})}}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}$

역사

반소 아이디얼(독일어: Halbprimideal 할프프림이데알^[*])의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,^{:735, §2} 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.^{:331, Definition 0}

외부 링크

• “Radical of an ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ideal radical”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semiprime ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Radical of an ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Radical ideal”. 《Commalg》 (영어). 
• “Definition and basic properties of the radical of an ideal”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 10월 3일.