환론에서, 가군의 연관 소 아이디얼(聯關素ideal, 영어: associated prime ideal)은 특정 부분 가군의 소멸자로 표현될 수 있는 소 아이디얼이다. 가환환 위의 가군의 연관 소 아이디얼은 대수기하학적으로 준연접층으로서의 지지 집합과 관련되며, 또 부분 가군의 으뜸 분해에 사용된다.
환
의 왼쪽 가군
이 다음 조건을 만족시킨다면,
을 소가군(영어: prime module)이라고 한다.
- 임의의 부분 가군
에 대하여,
이거나
이다.
(여기서
은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.[1]:85
의 왼쪽 가군
의 연관 소 아이디얼(영어: associated prime ideal)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다.[1]:86
의 연관 소 아이디얼의 집합을
로 표기한다.
만약
가 가환환일 때,
의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(영어: isolated associated prime ideal), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼(영어: embedded associated prime ideal)이라고 한다.
환
위의 왼쪽 가군
의 부분 가군
에 대하여,
이다. 만약
이 본질적 부분 가군이라면
이다.
유한성·비자명성[편집]
만약
가 양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시킨다면,
위의 모든 유한 생성 왼쪽 가군은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.
뇌터 가환환의 경우[편집]
가환환
위의 가군
은
위의 준연접층을 정의한다. 그 지지 집합
![{\displaystyle \operatorname {supp} (_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fc37ff02bb0b814d9533569081eaeaaff66658)
을 생각하자. 만약
가 뇌터 가환환이라면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)\subseteq \operatorname {supp} (_{R}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d437977045ca5bfdbb11fac6a07bac787b00e7db)
의 극소 원소들의 집합은
의 극소 원소들의 집합과 같다.
뇌터 가환환
위의 왼쪽 가군
의 연관 소 아이디얼들의 합집합은
의 영인자들의 집합과 같다.
![{\displaystyle \bigcap \operatorname {Ass} (_{R}M)=\{r\in R\colon \exists m\in M\setminus \{0\}\colon rm=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1859c62e605763d60f93da7a19852d46d8f1a2fe)
뇌터 가환환
위의 왼쪽 가군
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:391, Exercise 10.9.7
임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.
![{\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}0)=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a972dbc9ebca4aba816b47dc0b2b696667014cb)
참고 문헌[편집]