대수기하학과 복소기하학에서 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층은 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 이는 연접층의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주인 준연접 가군층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.
환 달린 공간
위에서, 다음 조건들을 만족시키는
-가군층
를 국소 단면 생성 가군층(局所斷面生成加群層, 영어: sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, 층의 완전열
이 존재하게 되는 열린 근방
와 기수
가 존재한다.
환 달린 공간
위에서, 다음 조건들을 만족시키는
-가군층
를 준연접 가군층(準連接加群層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent) 또는 단순히 준연접층이라고 한다.[1]:45, (5.1.3)
- 임의의
에 대하여, 층의 완전열
이 존재하게 되는 열린 근방
와 기수
가 존재한다.
국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수
가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.
임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
- 연접층 ⊆[1]:47, (5.3.2) 유한 표시 가군층 ⊆[1]:46, (5.2.5) 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
- 국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층[1]:48, (5.4.1)
국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[2]
- 유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆[1]:48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
스킴
위의 가군층
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 준연접 가군층이다.
- 임의의 아핀 열린 부분 스킴
에 대하여,
는
-가군층으로서 어떤
-가군으로부터 유도된
-가군층과 동형이다.
의 어떤 아핀 열린 덮개
에 대하여,
는
-가군층으로서 어떤
-가군으로부터 유도된
-가군층과 동형이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 두 스킴
, ![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
- 스킴 사상
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
그렇다면,
위의 준연접층
의 당김
는
위의 준연접층이다. 반대로,
위의 준연접층
가 주어졌으며,
가 준콤팩트 준분리 사상이라면
의 밂
는
위의 연접층이다.
일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주
는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약
가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
- 그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다.
- 포함 함자
는 오른쪽 수반 함자
를 가진다.
즉,
에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다.
에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에
를 가한 것이다.
가환환
위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.
-가군의 범주 ![{\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc52b36538523a2baa3a2a7d1aad6ed694259682)
의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 ![{\displaystyle \operatorname {QCoh} (\operatorname {Spec} R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698251cf19c87e20d8ae5182fdd65e31b357b4ac)
구체적으로,
-가군
에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층
이다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} (R_{r});{\tilde {M}})=R_{r}\otimes _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c431aeca2aacd9e1bafaa9b9bcddb89abca5f7)
여기서
![{\displaystyle R_{r}=(\{1,r,r^{2},\dots \})^{-1}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0158d68382c8a370d2767e8eabe39c1acad228b8)
는
로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은
의 열린집합을 정의한다.
반대로,
위의 준연접 가군층
에 대응하는
-가군은
이다.
스킴
의 닫힌 부분 스킴
에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다. 특히,
전체에 대응하는 영 준연접층
은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합
에 대응하는 구조층
역시 준연접층이다. (반면, 국소 뇌터 스킴이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층이 아닐 수 있다.)
체
의 스펙트럼
위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두
-벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원
-벡터 공간이다.)
이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층
[편집]
이산 값매김환
의 스펙트럼
는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼
에 대응하며, 이는 잉여류체
에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼
에 대응하며, 이는 분수체
에 해당한다.
시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다.
위의 임의의 가군 (준)층
는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.
. 이는
-가군이다.
. 이는
-벡터 공간이다.
의 제약 사상
. 이는
-선형 변환이다.
즉,
위의 가군층은 위와 같은
로 주어진다.
아핀 스킴
위의 준연접 가군층은
-가군
만으로 주어진다. 이 경우,
의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라)
이다. 즉,
-가군층
가운데 준연접층인 것은
가
-벡터 공간의 동형 사상인 것이다.