완전열

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호몰로지 대수학에서, 완전열(完全列, 영어: exact sequence)은 한 사상의 이 다음 사상의 과 일치하는, 사상들과 대상들로 구성된 열이다.

정의[편집]

여핵을 가지는 범주에서, 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

이 열이 완전열을 이루려면, 각 사상들의 핵과 들이 일치하여야 한다.

즉,

이어야 한다.

모든 아벨 범주 (아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 의 범주 는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

특수한 경우[편집]

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

  • 가 완전열이라는 것은 사상 단사 사상이라는 것과 동치이다.
  • 가 완전열이라는 것은 사상 전사 사상이라는 것과 동치이다.
  • 가 완전열이라는 것은 사상 동형 사상이라는 것과 동치이다.

짧은 완전열[편집]

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열(영어: short exact sequence)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

여기서, 단사 사상이며 전사 사상이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.

[편집]

아벨 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.

여기에서 0은 자명군이고, 에서 로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, 에서 은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 이는 완전열인데,

  • 사상 의 상은 자명군이고, 에 대한 (두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 에서 열은 완전열이다.
  • 의 상은 짝수의 부분군 이며, 또한 짝수의 부분군 이다. 따라서, 두 번째 에 대해서도 완전열이다.
  • 에 대한 상은 이고, 0으로 가는 상의 핵도 이기 때문에, 열은 에서도 완전열이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]