분할 완전열

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호몰로지 대수학에서, 분할 완전열(分割完全列, 영어: split exact sequence)은 일부 사상이 일종의 역원을 가져서, 가운데의 대상을 좌·우의 대상들의 합성으로 볼 수 있게 하는 짧은 완전열이다.

정의[편집]

여핵이 존재하는 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열

이 존재한다고 하자. 이 완전열에 대하여,

  • 만약 분할 단사 사상이라면 (즉, 가 존재한다면), 이 완전열이 왼쪽 분할 완전열(영어: left-split exact sequence)이라고 한다.
  • 만약 분할 전사 사상이라면 (즉, 가 존재한다면), 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열(영어: right-split exact sequence)이라고 한다.

분할 보조정리에 따르면, 아벨 범주에서의 짧은 완전열 에 대하여 다음 명제들이 서로 동치이다.

  • 는 왼쪽 분할 완전열이다.
  • 는 오른쪽 분할 완전열이다.
  • 이며, 이 경우 에서 또는 로 가는 사영 사상이다.

아벨 범주에서, 이 조건을 만족시키는 짧은 완전열을 분할 완전열이라고 한다. 즉, 분할 완전열에서는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

군의 범주에서의 분할 완전열[편집]

군의 범주 아벨 범주가 아니며, 분할 보조정리가 성립하지 않는다. 군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 동치이다.

  • 는 왼쪽 분할 완전열이다.
  • 이며, 이 경우 에서 또는 로 가는 사영 사상이다.

군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 동치이다.

  • 는 오른쪽 분할 완전열이다.
  • 반직접곱 와 동형이다. 이 경우 는 포함 사상 이다.

왼쪽 분할 조건은 오른쪽 분할 조건을 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

외부 링크[편집]