시작 대상과 끝 대상

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범주론에서, 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

정의[편집]

범주 의 대상 가 주어졌다고 하자.

  • 만약 모든 에 대하여 가 하나의 원소만을 갖는다면, 에서의 시작 대상이라고 한다.
  • 만약 모든 에 대하여 가 하나의 원소만을 갖는다면, 에서의 끝 대상이라고 한다.
  • 만약 에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, 에서의 영 대상(零對象, 영어: zero object)이라고 한다.

성질[편집]

모든 대수 구조 다양체의 범주는 (완비 범주이자 쌍대 완비 범주이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 한원소 집합 위의 대수 구조이며, 끝 대상은 한원소 집합으로 생성되는 자유 대수이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.

모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

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범주 시작 대상 끝 대상
집합의 범주 공집합 한원소 집합
위상 공간의 범주 공공간 한원소 공간
위상 공간호모토피 범주 공공간 한원소 공간
작은 범주의 범주 공범주 하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주
모노이드의 범주 자명 모노이드
의 범주 자명군 1
아벨 군의 범주 자명군 0
(단위원을 갖는) 의 범주 정수환 자명환 0
(단위원을 갖는) 가환환의 범주 정수환 자명환 0
유사환의 범주 자명환 0
아핀 스킴의 범주 자명환의 스펙트럼 정수환의 스펙트럼
스킴의 범주 자명환의 스펙트럼 정수환의 스펙트럼
의 범주 (없음)
범주로 간주한 부분 순서 집합 () (만약 존재한다면) 최소 원소 (만약 존재한다면) 최대 원소
범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드 (없음)
하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주 유일한 대상

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]