시작 대상과 끝 대상

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수학범주론에서 대상 I가 범주 C의 시작 대상(initial object)이라는 것은, C의 임의의 대상 X에 대해 I에서 X로의 사상이 유일하게 존재함을 말한다. 쌍대적인 개념으로, C의 임의의 대상 X에 대해 X에서 T로의 사상이 유일하게 존재할 경우 T를 C의 끝 대상(terminal object)이라고 한다. 시작 대상인 동시에 끝 대상인 경우에는 영 대상(zero object)이라고 한다.

[편집]

  • 집합의 범주에서 공집합은 유일한 시작 대상이며, 임의의 한원소 집합은 끝 대상이고, 영 대상은 존재하지 않는다. 마찬가지로 위상공간의 범주에서 공집합은 유일한 시작 대상이며, 임의의 한점 집합은 끝 대상이다.
  • 공집합이 아닌 집합의 범주에는 시작 대상이 존재하지 않는다. 한원소 집합에서 임의의 집합으로 가는 함수가 존재하지만 이는 일반적으로 유일하지 않으며, 따라서 한원소 집합은 시작 대상이 아니다.
  • 군의 범주에서 임의의 자명군은 영 대상이다. 이는 아벨 군의 범주나 고정된 상의 좌가군의 범주에서도 성립하는 사실이며, 이로 인해 "영 대상"이라는 이름이 붙여지게 되었다.
  • 환의 범주에서 정수환(및 그와 동형인 임의의 환)은 시작 대상이고, 자명환은 끝 대상이다.
  • 스킴의 범주에서 공집합 스킴(자명환의 스펙트럼)은 시작 대상이고, Z의 스펙트럼은 끝 대상이다.
  • 체의 범주에는 시작 대상이나 끝 대상이 없다.

부분순서집합 (P, ≤)는 P의 각 원소를 대상으로 놓고 x ≤ y일 때 x에서 y로의 유일한 사상이 존재하는 것으로 하면 이는 범주가 된다. (P에 최소원소나 최대원소 등이 존재하는 경우) 이 범주의 시작 대상은 최소원소와 같으며, 끝 대상은 최대원소와 같다.