뱀 보조정리

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호몰로지 대수학에서, 뱀 보조정리(-補助定理, 영어: snake lemma)는 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 여핵들 사이를 연결하는 완전열을 정의하는 보조정리이다.

정의[편집]

아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.

Snake lemma origin.svg

여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 뱀 보조정리에 따르면,[1]:11, Lemma 1.3.2 다음과 같이 a, b, c의 여핵들로 이루어진 완전열이 존재한다.

즉, 다음과 같은 그림이 된다.

Snake lemma complete.svg

또한, 다음이 성립한다.

이 정리에서, 연결 사상(連結寫像, 영어: connecting morphism)이라고 한다.

연결 사상 는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 미첼 매장 정리를 사용하여 모든 대상이 어떤 환 위의 가군이라고 가정하자. 우선, 임의의 에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.

  • 인 임의의 (이는 전사 사상이므로 가능하다)
    • 이므로, 가 된다.
  • 의 완전성으로 인하여, 가 유일하게 존재한다.

그렇다면, 연결 사상 는 다음과 같다.

이는 의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.

9항 보조정리[편집]

9항 보조정리(九項補助定理, 영어: nine lemma)는 뱀 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같다.[1]:11, Exercise 1.3.2 우선, 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자. (대상은 편의상 생략하였다.)

이 경우,

또한, 마찬가지로 3×3 대신 임의의 자연수 에 대하여 그림에 대한 항 보조정리가 성립한다. (1×1 및 2×2인 경우는 물론 자명하게 참이다.)

지그재그 보조정리[편집]

지그재그 보조정리(zigzag補助定理, 영어: zigzag lemma)는 사슬 복합체들의 짧은 완전열로부터 그 호몰로지 군들의 긴 완전열의 존재를 유추하는 보조정리이다. 구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 , , 가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.

지그재그 보조정리에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재하며, 이를 호몰로지 긴 완전열(영어: homology long exact sequence)이라고 한다.

지그재그 보조정리 역시 뱀 보조정리의 특수한 경우이다.[1]:13–14 구체적으로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

뱀 보조정리에 따라서, 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.

따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 지그재그 보조정리의 연결 사상을 얻는다.

응용[편집]

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열이나 복시테인 준동형은 뱀 보조정리 또는 지그재그 보조정리에 의하여 만들어지는 연결 사상으로 구성된다.

역사[편집]

뱀 보조정리는 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 9항 보조정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 앨빈 북스바움(영어: David Alvin Buchsbaum)은 1955년 논문[2]에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 보조정리는 보조정리 5.8로, 9항 보조정리는 보조정리 5.5로 등장한다.

1971년에 칼 에릭 린더홀름(영어: Carl Eric Linderholm)은 농으로 9항 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.

틱택토 판을 그린다. 판을 O/X로 채우지 말고, 대신 굽은 화살표를 사용한다. 선을 추가로 그려서 3×3 판을 4×4 판으로 확장한다. 판 위에 손을 가리키며 복잡하게 흔들어 댄다. O를 몇 개 그린다 (하지만 네모 속에 그리지 말고, 대신 가로·세로 선 끝에 그린다). 얼굴을 찡그린다. 이제 당신은 다음 정리들을 증명하였다.

(a) 9항 정리
(b) 16항 정리
(c) 25항 정리

[…]
Draw a noughts-and-crosses board, sometimes also referred to as a tic-tac-toe board. Do not fill it in with noughts and crosses, sometimes also called exes and ohs. Instead, use curved arrows. By drawing more lines, make it a board for four-by-four (instead of three-by-three) noughts and crosses. Wave your hands about in complicated patterns over this board. Make some noughts, but not in the squares; put them at both ends of the horizontal and vertical lines. Make faces. You have now proved:

(a) the Nine Lemma
(b) the Sixteen Lemma
(c) the Twenty-five Lemma

[…]

 
[3]:201

뱀 보조정리의 (수학적으로 올바른) 증명은 1980년 영화 《뉴욕 소나타》(영어: It’s My Turn)의 시작에서 등장한다.[1]:11 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(영어: Kate Gunzinger, 질 클레이버그 분)은 이 정의를 강의 중에 증명한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001. 
  2. Buchsbaum, David A. (1955). “Exact categories and duality”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 80 (1): 1–34. doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993003. MR 0074407. Zbl 0065.25502. 
  3. Linderholm, Carl E. (1971). 《Mathematics made difficult》 (영어). Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1. Zbl 0217.00102. 

바깥 고리[편집]