호몰로지 대수학에서 복시테인 준동형(Бокштейн準同型, 영어: Bockstein homomorphism)은 아벨 군의 짧은 완전열에 의하여 생성되는 코호몰로지 연산이다.
공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle 0\to C^{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}D^{\bullet }{\xrightarrow {\pi }}E^{\bullet }\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86414c6dfde6092cb671738800873321b34b7f8)
그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.
![{\displaystyle \Sigma \operatorname {H} _{\bullet }(E){\xrightarrow {\beta }}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {\iota _{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(D){\xrightarrow {\pi _{*}}}\operatorname {H} _{\bullet }(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237ffd8eb726fb1cc97567d1bee9bd8c8362178f)
연결 사상
을 복시테인 준동형이라고 한다. 여기서
![{\displaystyle (\Sigma C)_{\bullet }=C_{\bullet -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f679d8ab3895d2d7575976f90ddc1b2f9320446)
는 사슬 복합체의 현수이다.
사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이
라면, 복시테인 준동형의 등급 역시
이다.
복시테인 스펙트럼 열[편집]
공사슬 복합체
의, 등급
의 단사 자기 사상
![{\displaystyle f\colon \Sigma ^{n}C^{\bullet }\to C^{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1870aaccec840d2f27ddcee62910ce1dc58a83)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 짧은 완전열을 적을 수 있다.
![{\displaystyle 0\to \Sigma ^{n}C^{\bullet }{\xrightarrow {f}}C^{\bullet }{\xrightarrow {q}}\operatorname {coker} f\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5660cfb5046c5129fd5de2f46178e3d78d932f1)
그렇다면, 이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 완전쌍을 얻는다.
![{\displaystyle \Sigma ^{n}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {q_{*}}}\operatorname {H} _{\bullet }(\operatorname {coker} f){\xrightarrow {\beta }}\Sigma ^{-1}\operatorname {H} _{\bullet }(\operatorname {coker} f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1854ad91153100be690098f8502253a86dc50fba)
이에 대하여 유도되는 스펙트럼 열을 복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн spectrum列, 영어: Bockstein spectral sequence)이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.[1]:Theorem 3.8(a)
![{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}\operatorname {H} ^{p(1-n)+q}(\operatorname {coker} f)&p\geq 0\\0&p<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5073e2b81cb47fa0aaa4f636a9e3d16599f338aa)
![{\displaystyle d^{n}=q_{*}\circ \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566bd56cea1f7dee2fc52994fe24bce87fe1e745)
![{\displaystyle \deg d^{n}=(r,1-r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6414c2f93ba4688360edc1507ebcdcc8bb227e6c)
만약
이며
가 하계를 갖는다면 (즉,
가 하계를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.[1]:Theorem 3.8(b)
![{\displaystyle E_{n}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa64a5f5476b7e1e243799a5f60bb8fd817c62b)
마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다.
스틴로드 연산[편집]
가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도한, 코호몰로지에 대한 준동형들이다.
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /n^{2}\to \mathbb {Z} /n\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fb6597d5cfd0e31ec3c8283ae2766351dac6a8)
그렇다면, 위상 공간
위의 특이 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n^{2}\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc216b03153b831dd5eafe763877d54512a68d4)
이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다.
![{\displaystyle \beta \colon H^{n}(X,\mathbb {Z} /n)\to H^{n+1}(X,\mathbb {Z} /n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecba96f66800a2b882544d0fb4ece23e92590c1)
이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
(
은 3 이상의 소수)
![{\displaystyle \beta (a\smile b)=\beta (a)\smile b+(-)^{\deg a}a\smile \beta (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058ad619170018c3eb9a63c328e7d6e0f6188eec)
따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) 라이프니츠 법칙을 만족시키는 (등급) 미분을 이룬다.
정수 슈티펠-휘트니 특성류[편집]
이와 비슷하게, 짧은 완전열
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc0acb7685800a522b45e4ad0c259db10468937)
에 대한 복시테인 준동형
![{\displaystyle \beta \colon H^{n}(X,\mathbb {Z} /n)\to H^{n+1}(X,\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646ed0245cf59cdcac5640d8ead2b08f8beb8ac8)
또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류
는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류
에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다.
메예르 펠릭소비치 복시테인(러시아어: Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн, 1913~1990)이 도입하였다.[2][3][4]
외부 링크[편집]