호몰로지 대수학 에서 사슬 복합체 (-複合體, 영어 : chain complex )는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주 의 대상들의 열 이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지 의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
아벨 군 이나 가군 , 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
사슬 복합체
(
C
∙
,
∂
∙
)
{\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}
각 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
C
i
∈
A
{\displaystyle C_{i}\in {\mathcal {A}}}
각 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
∂
i
:
C
i
→
C
i
−
1
{\displaystyle \partial _{i}\colon C_{i}\to C_{i-1}}
⋯
→
C
i
+
1
→
∂
i
+
1
C
i
→
∂
i
C
i
−
1
→
∂
i
−
1
C
i
−
2
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\xrightarrow {\partial _{i+1}}}C_{i}{\xrightarrow {\partial _{i}}}C_{i-1}{\xrightarrow {\partial _{i-1}}}C_{i-2}\to \cdots }
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
모든 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
∂
i
−
1
∘
∂
i
=
0
{\displaystyle \partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0}
이 경우, 사상
∂
∙
{\displaystyle \partial _{\bullet }}
경계 사상 (境界寫像, 영어 : boundary map )라고 하고,
C
i
{\displaystyle C_{i}}
i 차 사슬 (영어 : i -chain
∂
i
α
=
0
{\displaystyle \partial _{i}\alpha =0}
i 차 사슬
α
∈
C
i
{\displaystyle \alpha \in C_{i}}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
영어 :
i
{\displaystyle i}
사이클[* ] )이라고 한다.
공사슬 복합체 (共사슬複合體, 영어 : cochain complex })
(
C
∙
,
d
∙
)
{\displaystyle (C^{\bullet },\mathrm {d} ^{\bullet })}
⋯
→
C
i
−
2
→
d
C
i
−
2
C
i
−
1
→
d
C
i
−
1
C
i
→
d
C
i
C
i
+
1
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to C^{i-2}{\xrightarrow {\mathrm {d} _{C}^{i-2}}}C^{i-1}{\xrightarrow {\mathrm {d} _{C}^{i-1}}}C^{i}{\xrightarrow {\mathrm {d} _{C}^{i}}}C^{i+1}\to \cdots }
이 경우, 사상
d
∙
{\displaystyle \mathrm {d} ^{\bullet }}
공경계 사상 (共境界寫像, 영어 : coboundary map )라고 하고,
C
i
{\displaystyle C^{i}}
i 차 공사슬 (
i
{\displaystyle i}
영어 : i -cochain
d
i
α
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} ^{i}\alpha =0}
i 차 공사슬
α
∈
C
i
{\displaystyle \alpha \in C^{i}}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
영어 :
i
{\displaystyle i}
코사이클[* ] )이라고 한다.
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
범주 는
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})}
A
i
↦
A
−
i
{\displaystyle A_{i}\mapsto A^{-i}}
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
(
C
∙
,
∂
∙
C
)
{\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet }^{C})}
(
D
∙
,
∂
∙
D
)
{\displaystyle (D_{\bullet },\partial _{\bullet }^{D})}
사슬 사상 (사슬寫像, 영어 : chain map )
f
∙
:
C
∙
→
D
∙
{\displaystyle f_{\bullet }\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }}
각 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
f
i
:
C
i
→
D
i
{\displaystyle f_{i}\colon C_{i}\to D_{i}}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
각 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
∂
i
D
∘
f
i
=
f
i
−
1
∘
∂
i
C
{\displaystyle \partial _{i}^{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ \partial _{i}^{C}}
⋯
→
C
i
+
1
→
∂
i
+
1
C
C
i
→
∂
i
C
C
i
−
1
→
⋯
f
i
+
1
↓
f
i
+
1
f
i
↓
f
i
f
i
−
1
↓
f
i
−
1
⋯
→
D
i
+
1
→
∂
i
+
1
D
D
i
→
∂
i
D
D
i
−
1
→
⋯
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \to &C_{i+1}&{\overset {\partial _{i+1}^{C}}{\to }}&C_{i}&{\overset {\partial _{i}^{C}}{\to }}&C_{i-1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f_{i+1}}\downarrow {\scriptstyle f_{i+1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f_{i}}\downarrow {\scriptstyle f_{i}}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f_{i-1}}\downarrow {\scriptstyle f_{i-1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D_{i+1}&{\underset {\partial _{i+1}^{D}}{\to }}&D_{i}&{\underset {\partial _{i}^{D}}{\to }}&D_{i-1}&\to \cdots \\\end{matrix}}}
마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
(
C
∙
,
d
C
∙
)
{\displaystyle (C^{\bullet },\mathrm {d} _{C}^{\bullet })}
(
D
∙
,
d
D
∙
)
{\displaystyle (D^{\bullet },\mathrm {d} _{D}^{\bullet })}
공사슬 사상 (영어 : cochain map )
f
∙
:
C
∙
→
D
∙
{\displaystyle f^{\bullet }\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }}
각 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
f
i
:
C
i
→
D
i
{\displaystyle f^{i}\colon C^{i}\to D^{i}}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
각 정수
i
∈
Z
{\displaystyle i\in \mathbb {Z} }
d
D
i
∘
f
i
=
f
i
+
1
∘
d
C
i
{\displaystyle \mathrm {d} _{D}^{i}\circ f^{i}=f^{i+1}\circ \mathrm {d} _{C}^{i}}
⋯
→
C
i
−
1
→
d
C
i
−
1
C
i
→
d
C
i
C
i
+
1
→
⋯
f
i
−
1
↓
f
i
−
1
f
i
↓
f
i
f
i
+
1
↓
f
i
+
1
⋯
→
D
i
−
1
→
d
D
i
−
1
D
i
→
d
D
i
D
i
+
1
→
⋯
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \to &C^{i-1}&{\overset {\mathrm {d} _{C}^{i-1}}{\to }}&C^{i}&{\overset {\mathrm {d} _{C}^{i}}{\to }}&C^{i+1}&\to \cdots \\&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i-1}}\downarrow {\scriptstyle f^{i-1}}\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i}}\downarrow {\scriptstyle f^{i}}\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!{\color {White}\scriptstyle f^{i+1}}\downarrow {\scriptstyle f^{i+1}}\!\!\!\!\!\!\\\cdots \to &D^{i-1}&{\underset {\mathrm {d} _{D}^{i-1}}{\to }}&D^{i}&{\underset {\mathrm {d} _{D}^{i}}{\to }}&D^{i+1}&\to \cdots \\\end{matrix}}}
사슬 복합체와 사슬 사상의 범주 는
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
Kom
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Kom} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
영어 : chain 체인[* ] 또는 복합체를 뜻하는 독일어 : Komplex 콤플렉스[* ] 를 딴 것이다.
임의의 두 사슬 복합체
C
∙
,
D
∙
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle C_{\bullet },D_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
hom
Ch
∙
(
A
)
(
C
∙
,
D
∙
)
{\displaystyle \hom _{\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}(C_{\bullet },D_{\bullet })}
위에는 사슬 호모토피 동치 관계 가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주 의 사상을 이룬다.
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
⋯
→
A
2
→
A
1
→
A
0
→
0
→
0
→
⋯
{\displaystyle \dotsb \to A_{2}\to A_{1}\to A_{0}\to 0\to 0\to \dotsb }
마찬가지로,
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
⋯
→
0
→
0
→
A
0
→
A
1
→
A
2
→
⋯
{\displaystyle \dotsb \to 0\to 0\to A_{0}\to A_{1}\to A_{2}\to \dotsb }
Ch
≤
∙
≤
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\leq \bullet \leq }}
유계 사슬 복합체 (有界사슬複合體, 영어 : bounded chain complex ), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.
⋯
→
0
→
0
→
A
n
→
A
n
−
1
→
⋯
→
A
m
+
1
→
A
m
→
0
→
0
→
⋯
{\displaystyle \dotsb \to 0\to 0\to A_{n}\to A_{n-1}\to \dotsb \to A_{m+1}\to A_{m}\to 0\to 0\to \dotsb }
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
k
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle A_{k}\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
와 정수
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
A
∙
{\displaystyle A_{\bullet }}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
영어 :
k
{\displaystyle k}
A
[
k
]
∙
{\displaystyle A[k]_{\bullet }}
A
[
k
]
n
=
A
n
−
k
∀
n
∈
N
{\displaystyle A[k]_{n}=A_{n-k}\qquad \forall n\in \mathbb {N} }
∂
n
A
[
k
]
=
(
−
)
k
∂
n
−
k
{\displaystyle \partial _{n}^{A[k]}=(-)^{k}\partial _{n-k}}
즉, 각 성분의 차수를
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주 를 이룬다. 따라서, 아벨 범주 에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.
예를 들어, 두 사슬 복합체
A
∙
,
B
∙
{\displaystyle A_{\bullet },B_{\bullet }}
직합
(
A
⊕
B
)
∙
{\displaystyle (A\oplus B)_{\bullet }}
(
A
⊕
B
)
n
=
A
n
⊕
A
B
n
{\displaystyle (A\oplus B)_{n}=A_{n}\oplus _{\mathcal {A}}B_{n}}
n
∈
Z
)
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} )}
∂
n
:
(
A
⊕
B
)
n
→
(
A
⊕
B
)
n
−
1
{\displaystyle \partial _{n}\colon (A\oplus B)_{n}\to (A\oplus B)_{n-1}}
∂
n
=
∂
n
A
⊕
∂
n
B
{\displaystyle \partial _{n}=\partial _{n}^{A}\oplus \partial _{n}^{B}}
마찬가지로, 사슬 복합체 사상
f
∙
:
A
∙
→
B
∙
{\displaystyle f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }}
의 핵
(
ker
f
)
∙
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle (\ker f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
(
ker
f
)
n
=
ker
(
f
n
)
{\displaystyle (\ker f)_{n}=\ker(f_{n})}
및 여핵
(
coker
f
)
∙
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle (\operatorname {coker} f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
(
coker
f
)
n
=
coker
(
f
n
)
{\displaystyle (\operatorname {coker} f)_{n}=\operatorname {coker} (f_{n})}
및 상
(
im
f
)
∙
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle (\operatorname {im} f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
(
im
f
)
n
=
im
(
f
n
)
{\displaystyle (\operatorname {im} f)_{n}=\operatorname {im} (f_{n})}
및 여상
(
coim
f
)
∙
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle (\operatorname {coim} f)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
(
coim
f
)
n
=
coim
(
f
n
)
{\displaystyle (\operatorname {coim} f)_{n}=\operatorname {coim} (f_{n})}
이 성분별로 정의된다.
사슬 복합체
A
∙
∈
Ch
(
A
)
{\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}
호몰로지
H
∙
(
A
)
=
ker
∙
im
∙
∈
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(A)={\frac {\ker _{\bullet }}{\operatorname {im} _{\bullet }}}\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 코호몰로지
두 사슬 복합체
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
D
∙
{\displaystyle D_{\bullet }}
유사동형 (類似同型, 영어 : quasi-isomorphism )은 다음과 같은 사슬 사상
q
:
C
→
D
{\displaystyle q\colon C\to D}
q
{\displaystyle q}
호몰로지 사상
q
∗
:
H
∙
(
C
)
→
H
∙
(
D
)
{\displaystyle q_{*}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(C)\to \operatorname {H} _{\bullet }(D)}
동형 사상 이다.서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
이 부분의 본문은
텐서곱 입니다.
가환환
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
쌍가군 들의 아벨 범주
Ch
∙
(
A
Mod
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})}
C
∙
,
D
∙
∈
Ch
∙
(
A
Mod
A
)
{\displaystyle C_{\bullet },D_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})}
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 성분별 텐서곱 을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체
E
∙
,
∙
{\displaystyle E_{\bullet ,\bullet }}
E
m
,
n
=
C
m
⊗
A
D
n
{\displaystyle E_{m,n}=C_{m}\otimes _{A}D_{n}}
∂
m
,
n
h
,
E
:
∂
m
,
n
h
,
E
→
∂
m
−
1
,
n
h
,
E
{\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} ,E}}
∂
m
,
n
h
,
E
=
∂
m
C
⊗
id
D
n
{\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}=\partial _{m}^{C}\otimes \operatorname {id} _{D_{n}}}
∂
m
,
n
v
,
E
:
∂
m
,
n
h
,
E
→
∂
m
,
n
−
1
h
,
E
{\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} ,E}}
∂
m
,
n
v
,
E
=
id
C
m
⊗
∂
n
D
{\displaystyle \partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}=\operatorname {id} _{C_{m}}\otimes \partial _{n}^{D}}
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체
(
C
⊗
D
)
∙
=
Tot
∙
(
E
)
{\displaystyle (C\otimes D)_{\bullet }=\operatorname {Tot} _{\bullet }(E)}
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
D
∙
{\displaystyle D_{\bullet }}
텐서곱 이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
(
C
⊗
D
)
∙
∈
Ch
∙
(
A
Mod
A
)
{\displaystyle (C\otimes D)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})}
(
C
⊗
D
)
n
=
⨁
p
+
q
=
n
C
p
⊗
A
D
q
{\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}C_{p}\otimes _{A}D_{q}}
∂
n
:
(
C
⊗
D
)
n
→
(
C
⊗
D
)
n
−
1
{\displaystyle \partial _{n}\colon (C\otimes D)_{n}\to (C\otimes D)_{n-1}}
∂
n
:
⨁
p
+
q
=
n
(
∂
p
C
⊗
A
id
D
q
+
(
−
)
p
id
C
p
⊗
∂
p
D
)
{\displaystyle \partial _{n}\colon \bigoplus _{p+q=n}\left(\partial _{p}^{C}\otimes _{A}\operatorname {id} _{D_{q}}+(-)^{p}\operatorname {id} _{C_{p}}\otimes \partial _{p}^{D}\right)}
이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.
1
∙
∈
Ch
(
A
)
{\displaystyle 1_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}
1
n
=
{
0
n
≠
0
A
n
=
0
{\displaystyle 1_{n}={\begin{cases}0&n\neq 0\\A&n=0\end{cases}}}
그렇다면,
(
Ch
(
A
Mod
A
)
,
⊗
,
1
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} (_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1_{\bullet })}
대칭 모노이드 범주 를 이룬다. 마찬가지로,
(
Ch
≥
0
(
A
Mod
A
)
,
⊗
,
1
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} _{\geq 0}(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1^{\bullet })}
(
Ch
≥
0
(
A
Mod
A
)
,
⊗
,
1
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1_{\bullet })}
(
Ch
≤
∙
≤
(
A
Mod
A
)
,
⊗
,
1
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} _{\leq \bullet \leq }(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1_{\bullet })}
역시 각각 대칭 모노이드 범주 를 이룬다.
특히,
(
Ch
≥
0
(
A
Mod
A
)
,
⊗
,
1
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,1^{\bullet })}
모노이드 대상 을 미분 등급 대수
또한,
Ch
∙
(
A
Mod
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})}
C
∙
{\displaystyle C_{\bullet }}
D
∙
{\displaystyle D_{\bullet }}
내적 사상 대상 (內的寫像對象, 영어 : internal homomorphism-object )
hom
∙
(
C
,
D
)
∈
Ch
∙
(
A
Mod
A
)
{\displaystyle \hom _{\bullet }(C,D)\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})}
을 정의할 수 있다.
hom
n
(
C
,
D
)
=
∏
i
∈
Z
hom
A
Mod
A
(
C
i
,
D
i
+
n
)
{\displaystyle \hom _{n}(C,D)=\prod _{i\in \mathbb {Z} }\hom _{_{A}\operatorname {Mod} _{A}}(C_{i},D_{i+n})}
∂
n
hom
(
C
,
D
)
f
=
∏
i
∈
Z
(
∂
i
+
n
D
∘
f
−
(
−
)
n
f
∘
∂
i
X
)
{\displaystyle \partial _{n}^{\hom(C,D)}f=\prod _{i\in \mathbb {Z} }(\partial _{i+n}^{D}\circ f-(-)^{n}f\circ \partial _{i}^{X})}
이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주
(
Ch
∙
(
A
Mod
A
)
,
⊗
,
hom
∙
)
{\displaystyle (\operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A}),\otimes ,\hom _{\bullet })}
닫힌 모노이드 범주 를 이룬다.
사슬 복합체 의 범주
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
동형 사상 이 되게 국소화하면, 유도 범주
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
함자
Ch
∙
(
A
)
→
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}
가 존재한다.
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주 를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주 는 가법 범주 이지만 일반적으로 아벨 범주 가 아니다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
사슬 복합체 범주
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
모형 범주 구조가 존재한다.
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
모형 범주 구조가 존재한다.
약한 동치
공사슬 복합체의 유사동형
올뭉치
각 성분이 전사 사상 이며, 각 성분의 핵 이 단사 대상 인 공사슬 사상
쌍대올뭉치
양의 차수에서 각 성분이 단사 사상 인 공사슬 사상
올대상
모든 성분이 단사 대상 인 공사슬 복합체
올대상 분해
단사 분해
쌍대올대상
모든 공사슬 복합체
쌍대올대상 분해
(원래 사슬 복합체와 같음)
이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주 는 유도 범주 이다.
아벨 범주 위의 단체 대상
X
∙
{\displaystyle X_{\bullet }}
정규화 사슬 복합체
N
∙
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(X)}
함자 를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}
단체 대상 의 범주
A
△
op
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}}
동치 및 모형 범주 의 퀼런 동치 를 이룬다.
Ch
≥
0
(
A
)
≃
A
△
op
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}}
이를 돌트-칸 대응
마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주
Ch
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
쌍대 단체 대상 의 범주
A
△
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{\triangle }}
동치 이며, 또한 이는 모형 범주 의 퀼런 동치 를 이룬다.
Ch
≥
0
(
A
)
≃
A
△
{\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})\simeq {\mathcal {A}}^{\triangle }}
아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
사슬 복합체 의 범주
Ch
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})}
아벨 범주 이므로, 그 위의 사슬 복합체 를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체 (二重사슬複合體, 영어 : double chain complex, bicomplex )라고 한다.
(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학 에서 호몰로지 ·코호몰로지 를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간 의 특이 호몰로지 를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체 라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학 의 발달로 추상적으로 정의되었다.
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![{\displaystyle A[k]_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adcc81a1ac1fc584f8362279680bd5c78931354)
![{\displaystyle A[k]_{n}=A_{n-k}\qquad \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86665e33b340a0fa700b1b55a67a3a030683d584)
![{\displaystyle \partial _{n}^{A[k]}=(-)^{k}\partial _{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7cbab190b1bcf0d798750b3f531441c3790f91)
