특이 호몰로지

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대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의[편집]

위상 공간이며, 가 (1을 갖는) 이라고 하자. 그렇다면, 의, 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

사슬[편집]

차원 표준 단체(標準單體, 영어: standard simplex) 은 다음과 같다.

.

이는 선분삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

위의 차원 특이 단체(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수

를 뜻한다. 위의, 계수의 차원 사슬(영어: chain)은 모든 차원 특이 단체로 의하여 생성되는, 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 라고 쓰자. (만약 일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)

경계[편집]

표준 단체 의 꼭짓점들을 이라고 하자. 표준 단체 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

의 꼴이다. 이를 편의상

로 쓰자.

차원 특이 단체 경계(境界, 영어: boundary) 는 다음과 같다.

.

경계 연산자 는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 이다. 이는 위의 가군가군 준동형을 이룬다. 또한, 는 항상 0이다. 따라서 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

특이 코호몰로지[편집]

위의 공사슬(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary) 은 다음과 같다.

.

공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

들을 특이 코호몰로지(영어: singular cohomology)라고 한다.

성질[편집]

라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.

그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

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초구[편집]

차원 초구 의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

사영 공간[편집]

복소수 사영 공간 의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

여기서 표수가 2가 아닌 임의의 이다.

원환면[편집]

차원 원환면 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

.

여기서 이항계수로, 인 경우 0으로 정의한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]