호몰로지 대수학에서 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)는 아벨 범주의 단체 대상에 대하여 정의되는 사슬 복합체이다. 이는 아벨 범주의 단체 대상의 범주와 자연수 등급 사슬 복합체의 범주 사이의 동치를 정의하며, 이 동치를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.[1]
무어 복합체[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 아벨 범주
![{\displaystyle {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
- 준단체 대상
![{\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab3576173dc8bdadebed297ea4223ea1a6840c4)
이제, 다음을 정의하자.
![{\displaystyle \operatorname {C} _{n}(M)=M_{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252f0b03d43aa31fe9b5e1db3e8317068d73aff8)
![{\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}M_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6918b07f47b6972578b9a3e3bb6df3b823250f22)
그렇다면,
은 사슬 복합체를 이루며, 이를 준단체 대상
의 무어 사슬 복합체(영어: Moore chain complex)라고 한다.[2]:45, Definition 1.6.2
증명:
편의상 집합
![{\displaystyle S=\{0,\dotsc ,n-1\}\times \{0,\dotsc ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a98116cf99bc92ad74523b7a5c0027df067cafb)
및
![{\displaystyle S_{+}=\{(i,j)\in S\colon i<j\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00bda5b4dcf7656c4d5f9d7a029c555d17f0c1f)
![{\displaystyle S_{-}=\{(i,j)\in S\colon i\geq j\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a0def531bf5e2ffa2ae107af4dad4f321e7476)
을 정의하자. 이 사이에는 전단사 함수
![{\displaystyle S_{+}\to S_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f932111c6844873ced46977e274a41399091883)
![{\displaystyle (j,i+1)\mapsto (i,j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3c13f193637a00d4de127b7d31772538f6b566)
가 존재한다.
그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n-1}\circ \partial _{n}&=\sum _{(i,j)\in S}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{+}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+\sum _{(i,j)\in S_{-}}(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\\&=\sum _{(i,j)\in S_{-}}\left((-)^{j+i-1}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}+(-)^{i+j}\partial _{n-1,i}\circ \partial _{n,j}\right)=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e63e02e32f5b9c894424e59264328a31ad7259)
사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 아벨 범주
![{\displaystyle {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
속의 자연수 등급 사슬 복합체
![{\displaystyle \dotsb \to C_{2}{\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{0}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdeee1138eb1b199cce3b3ad8e8191727180f06f)
이제,
에 다음과 같은 준단체 대상의 구조를 줄 수 있다.
![{\displaystyle M(n)=C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9967e59963661c0486a096586ff3a7535de5f68)
![{\displaystyle M(\partial _{n,i})\colon C_{n}\to C_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ccf9a202f39310aeb1e8c9d346ab57c2232a86)
![{\displaystyle M(\partial _{n,i})={\begin{cases}0&0\leq i\leq n-1\\(-)^{n}\partial _{n}&i=n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a0d4a56247d9e8835f8d9be36a3c725bce8a57)
퇴화 복합체와 정규화 복합체[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 아벨 범주
![{\displaystyle {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
- 단체 대상
![{\displaystyle M_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431228604e4d7c55d9460245201436d99623ec10)
이제, 다음을 생각하자.
![{\displaystyle f_{n}\colon \coprod _{i=0}^{n-1}s_{n,i}\colon M_{n-1}^{\oplus n}\to M_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b01f1e36109903084ad2f906ede82e6ee82038)
![{\displaystyle g_{n}\colon \prod _{i=0}^{n-1}\partial _{n,i}\colon M_{n}\to M_{n+1}^{\oplus n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e89eff409afdee9e33874b0200ff1f02ce4342)
(※
에서, 합이
을 포함하지 않는다.)
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }(M)=\operatorname {im} f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496f284f1104fc89391bea3284448dafa919ebc2)
![{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)=\ker g_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3731be762e66ece47c5af5f6a0af0955ac782ae)
그렇다면,
와
둘 다 역시 사슬 복합체를 이룬다.
을 퇴화 사슬 복합체(退化사슬複合體, 영어: degenerate chain complex)라고 하며,
을 정규화 사슬 복합체(正規化사슬複合體, 영어: normalized chain complex)라고 한다.
퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:
퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
![{\displaystyle \partial _{n+1}\circ s_{n,i}=\sum _{j=0}^{n}s_{n,j}\circ \phi _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd11ad33a7d0a92ffa46ece690c351db583fd8)
여기서
는 임의의 사상이다.
그런데
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n+1}\circ \circ s_{n,i}&=\sum _{j=0}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}\partial _{n+1,j}\circ s_{n,i}\\&=\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}s_{n-1,i-1}\circ \partial _{n,j}+\sum _{j=i}^{i+1}(-)^{j}+\sum _{j=i+1}^{n+1}(-)^{j}s_{n-1,i}\circ \partial _{n,j-1}\\&=s_{n-1,i-1}\circ \left(\sum _{j=0}^{i-1}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)-s_{n-1,i}\circ \left(\sum _{j=i}^{n}(-)^{j}\partial _{n,j}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f71793a2275ab9fb2569339ce8b03343941bb3a)
이다.
정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:
의 핵의 경계가
의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
![{\displaystyle \partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\phi _{i,j}\circ \partial _{n+1,j}\qquad (j<n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7941fb1c21d2d364887316078f8576bdb27842b)
여기서
는 임의의 사상이다.
그런데
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1}&=\sum _{j=0}^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,n+1}\\&=\left(\sum _{j=0}^{n}\partial _{n,i}\circ \partial _{n+1,j}\right)+(-)^{n+1}\partial _{n,n}\circ \partial _{n+1,i}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4547d616f16ff8d6392736107d2ed2b154c079a)
이다.
준단체 대상에 대응하는 단체 대상[편집]
우선, 다음 기호를 정의하자.
은 모든 전사 증가 함수
(
)들의 집합이다.
아벨 범주
속의 준단체 대상
![{\displaystyle C\colon \triangle _{\operatorname {pre} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390e20d3d4efa3ad5c81c4f25abae1b118fc71d2)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은
위의 단체 대상을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \sigma (C_{n})=\bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}C_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe634b161d5de5b9b105b106fca6330c76fd1d8)
즉, 각
에 대하여 포함 사상
![{\displaystyle \beta _{\phi }\colon C_{m}\hookrightarrow \sigma (C_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69576aed1910d10f131c5ed1d9bceb5cbc269e96)
이 있다.
그 위의 단체 대상 구조는 다음과 같다. 단체 범주
속의 임의의 사상(증가 함수)은 전사 증가 함수와 단사 증가 함수의 합성으로 유일하게 표현된다.
임의의 단체 범주 사상
![{\displaystyle f\in \hom _{\triangle }(m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a072dd0267f0a4594a9aeddb55e9d7f27fa4452)
에 대하여,
![{\displaystyle \sigma (f)\colon \sigma (C_{n})\to \sigma (C_{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe67e39577fccf32bf46971ea40c0e79a6f4dbf6)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \sigma (f)=\coprod _{\scriptstyle g\in \operatorname {Surj} (n,k) \atop \scriptstyle \iota \circ \phi =g\circ f}\beta _{\phi }\circ C(\iota )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f7773bbd96526e931312eae03b34f644a4564f)
여기서,
은
가
의, 단사 함수(
)와 전사 함수(
)로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
은 함자
아래의,
의 상이다.
짧은 완전열[편집]
아벨 범주
속의 단체 대상
에 대하여, 다음과 같은 사슬 복합체의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to \operatorname {D} _{\bullet }(M)\to \operatorname {C} _{\bullet }(M)\to \operatorname {N} _{\bullet }(M)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cdd90fce1d7cd610db74941629bba4d3bc721c)
즉,
![{\displaystyle \operatorname {N} _{\bullet }(M)\cong {\frac {\operatorname {C} _{\bullet }(M)}{\operatorname {D} _{\bullet }(M)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5497ffd0a8ee1f88df8c6b8b95687f5fd9cd7abc)
이다.
정규 사슬 복합체의 표준 분해[편집]
아벨 범주
속의 단체 대상
에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.
![{\displaystyle i_{n}\colon \bigoplus _{m=0}^{n}\bigoplus _{\operatorname {Surj} (n,m)}\operatorname {N} _{k}(M)\cong \operatorname {C} _{n}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d223fb977ce203ca652e2b684e83e1556e9448d2)
이 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle i_{n}=\coprod _{m=0}^{n}\coprod _{f\in \operatorname {Surj} (n,m)}M(f^{\operatorname {op} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92c2feac991206e2e70d28a8e1f08d8a745feec)
여기서
![{\displaystyle M(f^{\operatorname {op} })\colon \operatorname {N} _{m}(M)\to M_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e7a18a71a71088411ea5ffbe9f6e8a57a9bf84)
은 함자
아래
의 상이다.
돌트-칸 대응[편집]
아벨 범주
위에서, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {s} ({\mathcal {A}})\leftrightarrows \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b04de8379d92ab0b04203d99efac05f993e5ee2)
여기서
는
위의 단체 대상의 범주이다.
는
위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체들의 범주이다.
이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.
는 단체 대상에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
는 자연수 등급 사슬 복합체에 대응되는 준단체 대상에 대응되는 단체 대상이다.
또한, 이 범주의 동치는 자연 동형으로부터 유도된다. 즉, 자연 동형
![{\displaystyle \operatorname {N} \circ \operatorname {\Gamma } \Rightarrow 1_{\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2eca230bacd47329ff6c7c7fdae2113c569a0d4)
![{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \circ \operatorname {N} \Rightarrow 1_{\operatorname {s} ({\mathcal {A}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4636a7c2cec3b0f988f62caebed3238947db94)
가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {N} \dashv \operatorname {\Gamma } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4bfc0453781ce9af67d6122e1e98a40c62d8574)
![{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \dashv \operatorname {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae8fc292298f3acf5dddafacf873550ac41b1e7)
모형 구조[편집]
돌트-칸 대응을 사용하여,
위의 모형 범주 구조를
에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은
와
사이의 퀼런 동치를 이룬다.
이 경우,
의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, (단체 집합으로서) 모든 차수의 단체 호모토피 군의 동형을 유도하는 것이다.
돌트-칸 대응은 알브레히트 돌트[3]와 다니얼 칸[4]이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 칸 확대의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 가군의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 디터 푸페는 곧 이를 임의의 아벨 범주에 대하여 일반화하였다.[5]
외부 링크[편집]