단체 집합

호모토피 이론에서 단체 집합(單體集合, 영어: simplicial set)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다. 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.

정의

단체 집합은 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 속의 단체 대상, 즉 함자

$X_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

이다. 마찬가지로, 첨가 단체 집합(添加單體集合, 영어: augmented simplicial set)은 $\operatorname {Set}$ 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자

$X_{\bullet }\colon \triangle _{+}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

이다.

여기서 $\triangle$은 단체 범주이며, $\triangle _{+}$는 첨가 단체 범주이다.

다시 말해, $X_{-1}=S$인 첨가 단체 집합 $X_{\bullet }$은 조각 범주 $\operatorname {Set} /S$ 위의 단체 대상과 같다.

연산

범주론적 연산

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합

$\varnothing _{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

$\varnothing _{\bullet }\colon n\mapsto \varnothing \qquad \forall n\in \triangle$

이며, 끝 대상은 한원소 공간

$1_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

$1_{\bullet }\colon n\mapsto \{\bullet \}\qquad \forall n\in \triangle$

이다. (여기서 $\{\bullet \}$은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

기하학적 실현과 특이 단체

단체 집합의 범주 $\operatorname {s} (\operatorname {Set} )$와 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

$\operatorname {s} (\operatorname {Set} )\,{\overset {S}{\underset {|\cdot |}{\leftrightarrows }}}\,\operatorname {Top}$

$|\cdot |\dashv \operatorname {Sing}$

여기서 $\operatorname {Sing}$을 특이 단체 함자(特異單體函子, 영어: singular simplex functor), $|\cdot |$을 기하학적 실현 함자(幾何學的實現函子, 영어: geometric realization functor)라고 한다.

특이 단체

 이 부분의 본문은 특이 호몰로지입니다.

위상 공간 $Y$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 특이 단체 집합(영어: singular simplicial set) $\operatorname {Sing} (Y)$는 다음과 같다.

$\operatorname {Sing} (Y)_{n}=\hom _{\operatorname {top} }(\triangle ^{n},Y)$

여기서 $\triangle ^{n}$은 $n$차원 단체이다. 즉, 함자 $\operatorname {Sing} (Y)$의 $n$차 성분은 $Y$의 $n$차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.

기하학적 실현

단체 집합 $X$에 대응하는 기하학적 실현 $|X|$는 다음과 같은 위상 공간이다.

$|X|=\left(\bigsqcup _{n}X_{n}\times \triangle ^{n}\right)/{\sim }$

여기서 $\triangle ^{n}$은 $n$차원 표준 단체이며, $\sim$은

$(x,S_{i}(p))\sim (s_{i}(x),p)\qquad \forall p\in \triangle ^{n}$

$(x,D_{i}(p))\sim (d_{i}(x),p)\qquad \forall p\in \triangle ^{n}$

로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서

$d_{i}\colon \{0,1,\dots ,n-1\}\to \{0,1,\dots ,n\}$

는 상이 $\{0,1,\dots ,n\}\setminus \{i\}$인 유일한 증가 단사 함수이며,

$s_{i}\colon \{0,1,\dots ,n\}\to \{0,1,\dots ,n-1\}$

는 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. $D_{i}\colon \triangle ^{n}\to \triangle ^{n+1}$ 및 $S_{i}\colon \triangle ^{n}\to \triangle ^{n-1}$는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.

단체 호몰로지

단체 집합 $X_{\bullet }$이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.

$C_{n}=\mathbb {Z} ^{\oplus X_{n}}$

그렇다면, 이 위에 $\partial _{n,i}$ 및 $s_{n,i}$를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, $C_{n}$은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

$\partial _{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}$

$\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}\partial _{n,i}$

의 호몰로지를 단체 집합 $X$의 단체 호몰로지(單體homology, 영어: simplicial homology)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

유리수 계수 다항식 미분 형식

표준 단체

$\triangle ^{n}=\left\{{\vec {t}}\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right\}$

위의 유리수 계수 다항식 미분 형식(영어: rational-coefficient polynomial differential form)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.

$\phi _{i_{0},i_{1},\dotsc ,i_{n}}\mathrm {d} t_{i_{0}}\wedge \mathrm {d} t_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} t_{i_{n}}\qquad (\phi _{i_{0},i_{1},\dotsc ,i_{n}}\in \mathbb {Q} [t_{0},\dotsc ,t_{n}],\;i_{0}<i_{1}<\dotsb <i_{n})$

이들의 유리수 벡터 공간을 $\Omega _{\text{PL}}(n)$으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이제, 함자

$\Omega _{\text{PL}}\colon \triangle \to \operatorname {CDGA} _{\geq 0}^{\operatorname {op} }$

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $\Omega _{\text{PL}}\colon n\mapsto \Omega _{\text{PL}}(n)$
• 임의의 증가 함수 $f\colon \{0,1,\dotsc ,m\}\to \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여,

  $\Omega _{\text{PL}}(f)\colon t_{i}\mapsto \sum _{j\in f^{-1}(i)}t_{j}$

  $\Omega _{\text{PL}}(f)\colon \mathrm {d} t_{i}\mapsto \sum _{j\in f^{-1}(i)}\mathrm {d} t_{j}$

그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자

$\Omega _{\text{PL}}\colon \operatorname {s} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {CDGA} _{\geq 0}^{\operatorname {op} }$

를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.

이는 오른쪽 수반 함자

$R\colon \operatorname {CDGA} _{\geq 0}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {s} (\operatorname {Set} )$

를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자

$\Omega _{\text{PL}}\dashv R$

를 이룬다.^:§8

성질

범주론적 성질

단체 집합의 범주 $\operatorname {s} (\operatorname {Set} )$는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

위상수학적 성질

기하학적 실현 함자 $|\cdot |:\operatorname {s} (\operatorname {Set} )\to \operatorname {Top}$는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {CGHaus}$ 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.^:49

또한, 단체 집합 $X$의 기하학적 실현 $|X|$는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.^{:p. 46}

모형 범주 구조

단체 집합의 범주 $\operatorname {s} (\operatorname {Set} )$는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

• 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
• 올뭉치는 칸 올뭉치(Kan올뭉치, 영어: Kan fibration)이다.
• 올대상은 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)이다.

칸 올뭉치

단체 집합 $E$, $B$ 사이의 사상 $\pi \colon E\to B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치(영어: Kan fibration)라고 한다.

임의의 단체 $\triangle ^{n}$의 뿔 $\iota \colon \wedge _{k}^{n}\hookrightarrow \triangle ^{n}$ 및 사상 ${\tilde {f}}_{0}\colon \wedge _{k}^{n}\to X$ 및 $f\colon \triangle ^{n}\to B$에 대하여, 만약 $f\circ \iota =\pi \circ {\tilde {f}}_{0}$라면, ${\tilde {f}}\circ \iota ={\tilde {f}}_{0}$이고 $\pi \circ {\tilde {f}}=f$인 ${\tilde {f}}\colon \triangle ^{n}\to E$가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.

${\begin{matrix}\wedge _{k}^{n}&{\xrightarrow {{\tilde {f}}_{0}}}&E\\{\scriptstyle \iota }\downarrow &\nearrow \scriptstyle \exists {\tilde {f}}&\downarrow \scriptstyle \pi \\\triangle ^{n}&{\xrightarrow[{f}]{}}&B\end{matrix}}$

이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

$\bullet$이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)는 $\bullet$으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

예

표준 단체와 뿔

자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 $n$차원 단체(영어: standard $n$-simplex) $\triangle ^{n}$는 $\hom _{\triangle }(-,\Delta _{n})$로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해

$\hom _{\operatorname {s} (\operatorname {Set} )}(\triangle ^{n},Y)\cong Y(n)$

가 성립한다.

표준 $n$차원 단체 $\triangle ^{n}$가 주어졌을 때, $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여, $\wedge _{k}^{n}$가 $\partial \triangle ^{n}$에서 $k$번째 면들을 제거한 $n-1$차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 뿔(영어: horn)이라고 한다.

구체적 범주 속의 단체 대상

만약 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$가 구체적 범주일 경우, ${\mathcal {C}}$ 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

단체 복합체

 이 부분의 본문은 단체 복합체입니다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• (추상적) 단체 복합체 $(\Sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$. 여기서 $\Sigma _{0}$은 꼭짓점들의 집합이며, $\Sigma _{i}\subseteq {\mathcal {P}}(\Sigma _{0})$는 $i+1$개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
• 꼭짓점 집합 $\Sigma _{0}$ 위의 전순서 $\leq$

그렇다면, 다음을 정의하자.

• 양의 정수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 집합 $\Delta _{n}$의 원소 $M$은 $\Sigma _{0}$의 원소들로 구성된, 크기 $n+1$의 중복집합 $M$ 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 $|M|$이 $\textstyle \bigsqcup _{n=0}^{\infty }\Sigma _{n}$에 속하는 것이다.
• 꼭짓점 중복집합 $M\in \Delta _{n}$이 주어졌다고 하자. $M$에서, $i+1$번째로 작은 원소를 $m_{i}\in \Sigma _{0}$라고 하자 ($0\leq i\leq n$). 그렇다면, $\partial _{n}^{i}(M)$ 및 $s_{n}^{i}(M)$을 다음과 같이 정의하자.
  • $\partial _{n}^{i}(M)=M\setminus \{m_{i}\}\in \Delta _{n-1}$
  • $s_{n}^{i}(M)=M\sqcup \{m_{i}\}\in \Delta _{n+1}$

그렇다면, $(\Delta _{n},\partial _{n}^{i},s_{n}^{i})_{n,i}$는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 $(\Sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

신경

 이 부분의 본문은 신경 (범주론)입니다.

작은 범주 ${\mathcal {C}}$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}$가 존재하며, 이를 ${\mathcal {C}}$의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

$\operatorname {nerve} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet}$

를 정의한다.

역사

단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

외부 링크

• “Simplicial set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Simplicial set”. 《nLab》 (영어). 
• “Augmented simplicial set”. 《nLab》 (영어). 
• “SimpSet”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on simplicial sets”. 《nLab》 (영어). 
• “Kan fibration”. 《nLab》 (영어). 
• “Kan complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Horn”. 《nLab》 (영어). 
• “Differential forms on simplices”. 《nLab》 (영어). 
• “Join of simplicial sets”. 《nLab》 (영어).