단체 집합

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호모토피 이론에서, 단체 집합(單體集合, 영어: simplicial set)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다.[1][2][3][4] 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.

정의[편집]

단체 집합은 집합과 함수의 범주 속의 단체 대상, 즉 함자

이다. 마찬가지로, 첨가 단체 집합(添加單體集合, 영어: augmented simplicial set)은 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자

이다.

여기서 단체 범주이며, 첨가 단체 범주이다.

다시 말해, 인 첨가 단체 집합 조각 범주 위의 단체 대상과 같다.

연산[편집]

범주론적 연산[편집]

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, · 쌍대곱 · 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상공집합

이며, 끝 대상한원소 공간

이다. (여기서 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

기하학적 실현과 특이 단체[편집]

단체 집합의 범주 위상 공간의 범주 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

여기서 특이 단체 함자(特異單體函子, 영어: singular simplex functor), 기하학적 실현 함자(幾何學的實現函子, 영어: geometric realization functor)라고 한다.

특이 단체[편집]

위상 공간 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 특이 단체 집합(영어: singular simplicial set) 는 다음과 같다.

여기서 차원 단체이다. 즉, 함자 차 성분은 차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.

기하학적 실현[편집]

단체 집합 에 대응하는 기하학적 실현 는 다음과 같은 위상 공간이다.

여기서 차원 표준 단체이며,

로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서

는 상이 인 유일한 증가 단사 함수이며,

를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. 는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.

단체 호몰로지[편집]

단체 집합 이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.

그렇다면, 이 위에 를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

호몰로지를 단체 집합 단체 호몰로지(單體homology, 영어: simplicial homology)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

유리수 계수 다항식 미분 형식[편집]

표준 단체

위의 유리수 계수 다항식 미분 형식(영어: rational-coefficient polynomial differential form)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.

이들의 유리수 벡터 공간으로 표기하자. 이는 외미분쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이제, 함자

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 임의의 증가 함수 에 대하여,

그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자

를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.

이는 오른쪽 수반 함자

를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자

를 이룬다.[5]:§8

성질[편집]

범주론적 성질[편집]

단체 집합의 범주 는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

위상수학적 성질[편집]

기하학적 실현 함자 는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.[6]:49

또한, 단체 집합 의 기하학적 실현 는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.[6]:p. 46

모형 범주 구조[편집]

단체 집합의 범주 는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

칸 올뭉치[편집]

단체 집합 , 사이의 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치(영어: Kan fibration)라고 한다.

임의의 단체 의 뿔 및 사상 에 대하여, 만약 라면, 이고 가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.

이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, 영어: Kan complex)는 으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

[편집]

표준 단체와 뿔[편집]

자연수 에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 차원 단체(영어: standard -simplex) 로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해

가 성립한다.

표준 차원 단체 가 주어졌을 때, 에 대하여, 에서 번째 면들을 제거한 차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 (영어: horn)이라고 한다.

구체적 범주 속의 단체 대상[편집]

만약 구체적 범주일 경우, 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

단체 복합체[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • (추상적) 단체 복합체 . 여기서 꼭짓점들의 집합이며, 개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
  • 꼭짓점 집합 위의 전순서

그렇다면, 다음을 정의하자.

  • 양의 정수 에 대하여, 집합 의 원소 의 원소들로 구성된, 크기 중복집합 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 에 속하는 것이다.
  • 꼭짓점 중복집합 이 주어졌다고 하자. 에서, 번째로 작은 원소를 라고 하자 (). 그렇다면, 을 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

신경[편집]

작은 범주 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 가 존재하며, 이를 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

를 정의한다.

역사[편집]

단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1. 
  2. Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. 《Methods of homological algebra》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12492-5. 
  3. Curtis, Edward B. (1971년 4월). “Simplicial homotopy theory”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 6 (2): 107–209. doi:10.1016/0001-8708(71)90015-6. MR 279808. 
  4. Friedman, Greg (2012). “An elementary illustrated introduction to simplicial sets”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Bibcode:2008arXiv0809.4221F. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-353. ISSN 0035-7596. MR 2915498. Zbl 06035442. 
  5. Bousfield, Aldridge Knight; Gugenheim, Victor K. A. M. (1976). 《On PL De Rham theory and rational homotopy type》. Memoirs of the American Mathematical Society (영어) 179. American Mathematical Society. doi:10.1090/memo/0179. ISBN 978-0-8218-2179-4. MR 425956. 
  6. Gabriel, Peter; Zisman, Michel (1967). 《Calculus of fractions and homotopy theory》 (PDF). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85844-4. ISSN 0071-1136. 

외부 링크[편집]