대수적 K이론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다.

정의[편집]

대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group) \operatorname K_\bullet(-)이다. 이들은 주어진 R에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.

  • 퀼런 플러스 구성(영어: Quillen plus-construction)은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 의 무한 일반선형군분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
  • 퀼런 Q-구성(영어: Quillen Q-construction) 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주(영어: Quillen exact category)라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 R 위의 유한 생성 사영 가군 범주 \operatorname{fgProjMod}_R에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
  • 발트하우젠 S-구성(영어: Waldhausen S-construction)은 발트하우젠 범주(영어: Waldhausen category)라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주 \operatorname{bCh}(\mathcal E)는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen)이 도입하였다.

퀼런 플러스 구성[편집]

R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군 \operatorname{GL}(n;R)들의 귀납적 극한

\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n;R)

을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))을 취하자.

위상 공간 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R)) 위에 플러스 구성 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로, \operatorname{GL}(\infty;R)\cong\pi_1(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R)))정규 부분군 E\triangleleft \operatorname{GL}(\infty;R)은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군정규 부분군 E를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간 \operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+을 얻는다. 그렇다면, i>0에 대하여 iK군 \operatorname K_i(R)\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+i호모토피 군이다.

\operatorname K_i(R)=\pi_i(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+)\qquad(i>0)

i=0일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. (\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군 \operatorname K_0(R)는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우

\pi_i(R)=\pi_i\left(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+\times\operatorname K_0(R)\right)

로 정의할 수 있다. (여기서 \operatorname K_0(R)이산 위상을 준 위상군이다.)

퀼런 Q-구성[편집]

퀼런 완전 범주(Quillen完全範疇, 영어: Quillen exact category) \mathcal E아벨 범주 \mathcal A의 다음과 같은 충실충만한 가법 부분 범주이다.

  • 확대에 대하여 닫혀 있다. 즉, \mathcal A 속의 짧은 완전열 0\to X\to Y\to Z\to0에서, 만약 X,Z\in\mathcal E라면 Y\in\mathcal E이다.

위와 같은 확대를 허용 확대(許容擴大, 영어: admissible extension)라고 하고, 허용 가능 확대의 단사 사상 X\to Y허용 단사 사상(許容單射寫像, 영어: admissible monomorphism), 허용 확대의 전사 사상 Y\to Z허용 전사 사상(許容全射寫像, 영어: admissible epimorphism)이라고 한다. 허용 전사 사상을 \twoheadrightarrow, 허용 단사 사상을 \hookrightarrow로 표기하자.

퀼런 완전 범주 \mathcal E가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 \operatorname Q(\mathcal E)는 다음과 같은 범주이다.

  • \operatorname Q(\mathcal E)의 대상은 \mathcal E의 대상과 같다.
  • \operatorname Q(\mathcal E)에서 X,Y\in\mathcal E 사이의 사상은 \mathcal E에서의 그림 X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y의 동치류이다. 여기서, 두 그림 X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y, X\twoheadleftarrow A'\hookrightarrow Y 사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 동형 사상 A\to A'이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다.
    \begin{matrix}
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&A\\
\|&&\downarrow&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A'&\hookrightarrow&A
\end{matrix}
  • \operatorname Q(\mathcal E)에서 항등 사상은 X\overset{\operatorname{id}}\twoheadrightarrow X\overset{\operatorname{id}}\hookrightarrow X이다.
  • \operatorname Q(\mathcal E)에서 사상의 합성은 당김을 통해 정의된다. 즉, 그림 X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow YY\twoheadleftarrow B\hookrightarrow Z의 합성은 다음과 같은 당김 A\times_YB로서 정의된다.
    \begin{matrix}
&&A&\twoheadleftarrow&A\times_YB&\hookrightarrow&B\\
&&\|&&&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&Y&\twoheadleftarrow&B&\twoheadrightarrow&Z
\end{matrix}

이제, \operatorname Q(\mathcal E)신경 \operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E))을 취하자. 이는 단체 집합이다. \mathcal EiK군(영어: K-group)은 \operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E))의 (기하학적 실현의) i+1호모토피 군이다.

\operatorname K_i(\mathcal E)=\pi_{i+1}(\operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E)))

발트하우젠 S-구성[편집]

발트하우젠 범주(Waldhausen範疇, 영어: Waldhausen category) (\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak C)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • \mathcal C영 대상을 갖는 범주이다.
  • \mathfrak W\mathcal C의 사상들의 모임이다. 그 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다. 이를 \xrightarrow\sim로 나타내자.
  • \mathfrak C\mathcal C의 사상들의 모임이다. 그 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 한다. 이를 \hookrightarrow로 나타내자.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
  • 영 대상으로부터의 사상 0\to X는 쌍대올뭉치이다.
  • 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
  • 임의의 X\hookleftarrow Z\to Y에 대하여, X\cup_ZY으로 가는 표준적 사상 Y\to X\cup_ZY는 쌍대올뭉치이다.
  • 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상 X\cup_ZY\to \tilde X\cup_{\tilde Z}\tilde Y는 약한 동치이다.
    \begin{matrix}
X&\hookleftarrow&Z&\to&Y\\
{\scriptstyle\wr}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\downarrow\scriptstyle\wr\\
\tilde X&\hookleftarrow&\tilde Z&\to&\tilde Y
\end{matrix}

발트하우젠 범주 \mathcal C 및 자연수 n\in\mathbb N이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 \mathcal S_n(\mathcal C)을 생각하자.

  • \mathcal S_n(\mathcal C)의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상 X_{i,j} (i\le j) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
    • X_{ii}=0
    • 쌍대올뭉치의 열 0=X_{0,0}\hookrightarrow X_{0,1}\hookrightarrow X_{0,2}\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow X_{0,n}이 존재한다.
    • i\le j\le k에 대하여, X_{jk}0\leftarrow X_{i,j}\hookrightarrow X_{i,k}이다.
  • \mathcal S_n(\mathcal C)의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는 \mathcal C-사상들의 열 f_{i,j}\colon X_{i,j}\to Y_{i,j}로 구성된다.

그렇다면, 각 \mathcal S_n(\mathcal C) 역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은 \mathcal S_\bullet(\mathcal C)는 자연스럽게 단체 범주(영어: simplicial category, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.

이 연산 \mathcal S_\bullet(-)을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주 \mathcal C,\mathcal S_\bullet(\mathcal C),\mathcal S_\bullet(\mathcal S_\bullet(\mathcal C)),\dots들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼 \mathcal S(\mathcal C)을 이룬다.

\mathcal CK군들은 스펙트럼 \mathcal S(\mathcal C)안정 호모토피 군들이다.

낮은 차수의 K군[편집]

K0[편집]

R가 (단위원을 가진) 이라고 하자. 0차 K군 \operatorname K_0(R)R유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발그로텐디크 군위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 \operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}수반 함자를 사용해, 유사환 S에 단위원을 추가해 R\cong S\oplus\mathbb Z으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

0\to S\to R\to0

이 존재한다. 그렇다면 S의 K군 K_0(S)는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

K_0(R)\to K(\mathbb Z)\cong\mathbb Z

이다.

보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주 \mathcal E0차 K군 \operatorname K_0(\mathcal E)\mathcal E의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대 X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z에 대하여 [X]-[Y]+[Z]로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.

K1[편집]

R가 (단위원을 가진) 이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.

\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n,R)

그렇다면, 1차 K군 \operatorname K_1(R)는 무한 일반선형군의 아벨화이다.

\operatorname K_1(R)=\operatorname{GL}(\infty;R)^{\operatorname{ab}}=\operatorname{GL}(\infty;R)/[\operatorname{GL}(\infty;R),\operatorname{GL}(\infty;R)]

K2[편집]

R가 (단위원을 가진) 이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군 \operatorname{GL}(\infty;R)교환자 부분군 [\operatorname{GL}(\infty;R),\operatorname{GL}(\infty;R)]을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를 R스테인베르그 군(Steinberg群, 영어: Steinberg group) \operatorname{St}R라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그(루마니아어: Robert Steinberg, 1922~2014)가 도입하였다.

2차 K군 \operatorname K_2(R)R의 스테인베르그 군 \operatorname{St}R중심이다.

\operatorname K_2(R)=\operatorname Z(\operatorname{St}R)

[편집]

유한체[편집]

유한체 \mathbb F_q의 K군은 다음과 같다.

\operatorname K_0(\mathbb F_q)=\mathbb Z
\operatorname K_{2i}(\mathbb F_q)=0\qquad(i>0)
\operatorname K_{2i-1}(\mathbb F_q)=\mathbb Z/(q^i-1)\qquad(i>0)

정수환[편집]

정수환 \mathbb Z의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.

\operatorname K_0(\mathbb Z)=\mathbb Z
\operatorname K_1(\mathbb Z)=\mathbb Z/2
\operatorname K_2(\mathbb Z)=\mathbb Z/2
\operatorname K_3(\mathbb Z)=\mathbb Z/48
\operatorname K_4(\mathbb Z)는 알려지지 않았으나, 아마 0일 것으로 추측된다.

역사[편집]

K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년).[1] 곧 1950년대 말에 마이클 아티야프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.

세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼(영어: Stephen Schanuel, 1934~2014)이 의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.[2] 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다.[3] 밀너는 이 구성을 고차 n에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성[4][5][6]과 Q-구성[7]을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.[8]

참고 문헌[편집]

  1. Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958). “Le théorème de Riemann–Roch (d’après des résultats inédits de A. Grothendieck)”. 《Bulletin de la Société mathématique de France》 (프랑스어) 86: 97–136. ISSN 0037-9484. MR 0116022. Zbl 0091.33004. 
  2. Bass, Hyman; Schanuel, Stephen (1962). “The homotopy theory of projective modules”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 68: 425–428. doi:10.1090/S0002-9904-1962-10826-X. MR 0152559. Zbl 0108.26402. 
  3. Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF). 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 9: 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 
  4. Quillen, Daniel (1971). “The spectrum of an equivariant cohomology ring I”. 《Annals of Mathematics》 94 (3): 549–572. doi:10.2307/1970770. 
  5. Quillen, Daniel (1971). “The spectrum of an equivariant cohomology ring II”. 《Annals of Mathematics》 94 (3): 573–602. doi:10.2307/1970771. 
  6. Quillen, Daniel (1972). “On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field”. 《Annals of Mathematics》 96 (3): 552–586. doi:10.2307/1970825. 
  7. Quillen, Daniel (1973). 〈Higher algebraic K-theory I〉. Bass, Hyman. 《Higher K-theories. Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 341. Springer. 85–147쪽. doi:10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3. ISSN 0075-8434. 
  8. Waldhausen, Friedhelm (1985). 〈Algebraic K-theory of spaces〉. Ranicki, Andrew; Levitt, Norman; Quinn, Frank. 《Algebraic and geometric topology. Proceedings of a Conference held at Rutgers University, New Brunswick, USA, July 6–13, 1983》 (PDF). Lecture Notes in Mathematics (영어) 1126. Springer. 318–419쪽. doi:10.1007/BFb0074449. ISBN 978-3-540-15235-4. ISSN 0075-8434. 

바깥 고리[편집]