대수적 K이론

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수학에서, 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다.

역사[편집]

알렉산더 그로텐디크그로텐디크-리만-로흐 정리를 증명하면서 도입하였다. 역사적으로, 위상 K이론보다 더 먼저 등장하였다.

정의[편집]

대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group) K_0, K_1, …이다. 이들은 주어진 R에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K0[편집]

R가 (단위원을 가진) 이라고 하자. 대수적 0차 K군 K_0(R)R의 유한 생성(finitely generated) 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발그로텐디크 군위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 \operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}수반 함자를 사용해, 유사환 S에 단위원을 추가해 R\cong S\oplus\mathbb Z으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

0\to S\to R\to0

이 존재한다. 그렇다면 S의 K군 K_0(S)는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

K_0(R)\to K(\mathbb Z)\cong\mathbb Z

이다.

K1[편집]

R가 (단위원을 가진) 이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.

\operatorname{GL}(R)=\varinjlim_n\operatorname{GL}(n,R)

그렇다면, 대수적 1차 K군 K_1(R)는 무한 일반선형군의 아벨화이다.

K_1(R)=\operatorname{GL}(R)^{\operatorname{ab}}=\operatorname{GL}(R)/[\operatorname{GL}(R),\operatorname{GL}(R)]

1차 K군은 하이먼 배스가 정의하였다.

K2[편집]

R가 (단위원을 가진) 이라고 하자. 그렇다면, 대수적 2차 K군 K_2(R)R스타인버그 군 \operatorname{St}(R)중심이다. 이는 존 밀너가 정의하였다.

고차 K군[편집]

고차 K군 K_3,K_4,\dots 또한 존재한다. 이는 대니얼 퀼런이 정의하였다. 대수적 K이론은 위상 K이론과 달리 보트 주기성(Bott periodicity)을 보이지 않는다.

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많은 경우, 고차 K군은 계산하기 힘들다.

  • 정수환 \mathbb Z의 K군
    • K_0(\mathbb Z)=\mathbb Z
    • K_1(\mathbb Z)=\mathbb Z/2
    • K_2(\mathbb Z)=\mathbb Z/2
    • K_3(\mathbb Z)=\mathbb Z/48
    • K_4(\mathbb Z)는 알려지지 않았으나, 아마 0일 것으로 추측된다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]