준군

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추상대수학범주론에서, 준군(準群, 영어: groupoid 그루포이드[*])은 과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.

정의[편집]

대수적 정의[편집]

준군 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 집합
  • 부분 집합
  • 위에 정의된 함수 . 로 쓰자.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (결합 법칙) 임의의 에 대하여, 만약 라면 이며, 또한 이다.
  • (역원의 존재) 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 가 존재한다. 이를 역원(逆元, 영어: inverse)이라고 한다.
    • (정의역과 공역) 이자 이다.
    • (오른쪽 항등원의 성질) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
    • (왼쪽 항등원의 성질) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.

이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 에 대하여 일 수 있다.

범주론적 정의[편집]

범주론적으로, 준군 는 모든 사상동형 사상작은 범주이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.

대수적 정의 범주론적 정의
의 원소 의 사상
의 대상 집합
에 대하여, 사이의 사상 집합
이항 연산 사상의 합성

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의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주의 개념이 모노이드의 개념과 집합의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 의 개념과 집합의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.

작용 준군[편집]

가 집합 위에 작용한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군 로 여길 수 있다.

  • 의 대상은 의 원소이다.
  • 에 대하여, 이다.

기본 준군[편집]

위상 공간 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 기본 준군 은 다음과 같다.

  • 의 대상은 의 원소이다.
  • 에 대하여, 에서 로 가는 경로들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류들의 집합이다.

역사[편집]

하인리히 브란트(독일어: Heinrich Brandt)가 1926년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Brandt, Heinrich (1927년 12월 1일). “Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96 (1): 360–366. doi:10.1007/BF01209171. 

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같이 보기[편집]