준군

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추상대수학범주론에서, 준군(準群, 영어: groupoid 그루포이드[*])은 과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.

정의[편집]

대수적 정의[편집]

준군 (\mathcal G,\mathcal S,\cdot)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 집합 \mathcal G
  • \mathcal G\times\mathcal G부분 집합 \mathcal S\subseteq\mathcal G\times\mathcal G
  • \mathcal S 위에 정의된 함수 \cdot\colon\mathcal S\to\mathcal G. \cdot(g,h)gh로 쓰자.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (결합 법칙) 임의의 g,h,k\in\mathcal G에 대하여, 만약 (g,h),(h,k)\in\mathcal S라면 (g,hk),(gh,k)\in\mathcal S이며, 또한 g(hk)=(gh)k이다.
  • (역원의 존재) 임의의 g\in\mathcal G에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 g^{-1}\in\mathcal G가 존재한다. 이를 g역원(逆元, 영어: inverse)이라고 한다.
    • (정의역과 공역) (g,g^{-1})\in\mathcal S이자 (g^{-1},g)\in\mathcal S이다.
    • (오른쪽 항등원의 성질) 임의의 h\in\mathcal G에 대하여, 만약 (g,h)\in\mathcal S라면, ghh^{-1}=g이다.
    • (왼쪽 항등원의 성질) 임의의 h\in\mathcal G에 대하여, 만약 (h,g)\in\mathcal S라면, hgg^{-1}=g이다.

이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 g,h\in\mathcal G에 대하여 gg^{-1}\ne hh^{-1}일 수 있다.

범주론적 정의[편집]

범주론적으로, 준군 \mathcal G는 모든 사상동형 사상작은 범주이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.

대수적 정의 범주론적 정의
\mathcal G의 원소 \mathcal G의 사상
\mathcal S\subseteq\mathcal G^2 \bigsqcup_{A,B,C\in\operatorname{Ob}(\mathcal G)}\hom_{\mathcal G}(A,B)\times\hom_{\mathcal G}(B,C)
(g,h)\in\mathcal S \operatorname{codom}g=\operatorname{dom}h
\{gg^{-1}\colon g\in\mathcal G\}\subseteq\mathcal G \mathcal G의 대상 집합 \operatorname{Ob}(\mathcal G)
gg^{-1},hh^{-1}\in\mathcal G에 대하여, \{
k\in\mathcal G\colon (gg^{-1},k),(k,hh^{-1})\in\mathcal S\} A,B\in\operatorname{Ob}(\mathcal G) 사이의 사상 집합 \hom_{\mathcal G}(A,B)
이항 연산 \cdot\colon\mathcal S\to\mathcal G 사상의 합성

[편집]

의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주의 개념이 모노이드의 개념과 집합의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 의 개념과 집합의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.

작용 준군[편집]

G가 집합 S 위에 작용한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군 \textstyle G\int S로 여길 수 있다.

  • \textstyle G\int S의 대상은 S의 원소이다.
  • s,t\in S에 대하여, \hom_{G\int S}=\{g\in G\colon gs=t\}이다.

기본 준군[편집]

위상 공간 XX부분 집합 S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 기본 준군 \Pi(X,S)은 다음과 같다.

  • \Pi(X,S)의 대상은 S의 원소이다.
  • s,t\in S에 대하여, \hom_{\Pi(X,S)}(s,t)s에서 t로 가는 경로들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류들의 집합이다.

역사[편집]

하인리히 브란트(독일어: Heinrich Brandt)가 1926년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Brandt, Heinrich (1927년 12월 1일). “Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96 (1): 360–366. doi:10.1007/BF01209171. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]