대수적 수체

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수론에서, 대수적 수체(代數的數體, 영어: algebraic number field), 줄여서 수체(數體, 영어: number field)는 유리수체 \mathbb Q유한 확대(finite field extension)를 말한다. 즉, 수체는 \mathbb Q를 포함하는 로서 이를 \mathbb Q상의 벡터공간으로 보았을 때의 차원이 유한한 것이다. 대수적 수체는 대수적 수론의 주요 연구 주제이다.

정의[편집]

대수적 수체 K는 유리수체 \mathbb Q의 유한차수 체의 확대로 정의된다. 체의 확대K 자신이 체이면서 \mathbb Q를 포함하는 것을 말한다.

대수적 수체의 차수(영어: degree)는 유리수 벡터공간으로서의 차원이다. 즉,

\deg K=\dim_{\mathbb Q}K

이다.

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다음과 같은 예들이 있다.

a + bi
여기서 ab는 유리수이고, i허수단위가 된다. 연산은 일반적인 복소수의 연산과 동일하다.

대수적 정수와 대수적 정수환[편집]

일반적으로 대수학에서 확대체 F / E가 대수적이라 함은, 더 큰 체 F의 모든 원소 fE의 원소를 계수로 갖는 다항식의 근이 되는 것을 말한다. 당연히 모든 유한 확대(finite field extension)는 대수적 확대가 된다. 특히 대수적 수체에 이것을 적용하여, 대수적 수체의 모든 원소 f는 유리수 계수의 어느 다항식의 근으로 표현할 수 있다. 따라서 f대수적 수로 취급할 수 있다. 주어진 다항식 pp(f)=0를 만족할 때, 최고차항의 계수로 양변을 나누어 필요하다면 최고차항이 1인 다항식으로 항상 만들 수 있다. 그러나 만약 이때도 여전히 모든 계수가 정수일 경우, f대수적 정수가 된다. 모든 정수는 당연히 대수적 정수이다.

대수적 정수이면서 유리수인 수는 사실 정수이어야 함을 증명할 수 있고, 여기서 "대수적 정수"라는 말이 왔다. 유한생성 가군(Finitely generated module)의 성질에 따라, 두 대수적 정수의 곱은 여전히 대수적 정수가 된다. 이로부터 대수적 정수들은 F의 부분(ring)을 이루며, O_F라고 표기한다. 체는 영인자가 없고 이 성질은 모든 체의 부분환에 적용된다. 그러므로 이러한 대수적 정수환정역을 이룬다. 체 F정역 O_F분수체이다.

대수적 정수환은 세 가지 특징을 가진다

기저[편집]

대수적 수체의 원소들을 표준적으로 나타내려면 여러 가지 방법이 있다. 이 가운데 가장 유명한 것으로는 정수 기저(영어: integral basis)와 거듭제곱 기저(영어: power basis)가 있다.

차수 n의 수체 K정수 기저는 그 정수환 O_K의 (격자로서의) 기저 \{b_1,\dots,b_n\}이다. 따라서 K의 모든 대수적 정수들을

\sum_{i=1}^nk_ib_i (k_i\in\mathbb Z)

로 유일하게 나타낼 수 있고, K의 모든 원소들을

\sum_{i=1}^nr_ib_i (r_i\in\mathbb Q)

의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

차수 n의 수체 K거듭제곱 기저 x\in K

\{1,x,x^2,\dots,x^n\}\subset K

K의 (유리수 벡터공간으로의) 기저를 이루는 원소 x\in K이다. 거듭제곱 기저는 원시원소정리(primitive element theorem)에 의하여 항상 존재한다.

자리[편집]

수체 K절댓값(영어: absolute value)은 다음 공리들을 만족시키는 함수

|\cdot|\colon K\to[0,\infty)\subset\mathbb R
|\cdot|x|\mapsto|x|

이다.

  • (비퇴화성) |x|=0일 필요충분조건은 x=0
  • (곱셈과의 호환) |xy|=|x||y|
  • (삼각 부등식) |x+y|\le |x|+|y|

두 절댓값 |\cdot|_1, |\cdot|_2가 다음 조건을 만족시키면 서로 동치라고 한다.

\exists e\in\mathbb R^+\colon\forall x\in K\colon |x|_1=|x|_2^e

동치관계에 대한 절댓값들의 동치류를 수체 K자리(영어: place)라고 한다.

오스트롭스키 정리(Ostrowski’s theorem)에 따르면, 유리수체 \mathbb Q는 다음과 같은 자리들을 가진다.

  • 자명한 자리
|x|=\begin{cases}0&x=0\\1&x\ne0\end{cases}
\begin{cases}|0|&=0\\|p^na/b|_p=p^{-n}\end{cases}
(a,b,p서로소)

정칙 표현[편집]

n차 수체 K의 정수 기저 v_1,\dots,v_n\subset\mathcal O_K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x v_i = \sum a_{ij} v_j.

따라서 x를 곱하는 연산을 유리계수 정사각행렬 X = [aij]로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ..., vn에 대한 정칙 표현(正則表現, 영어: regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식고유다항식 등의 불변량은 x가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

X의 고유다항식 xn + c1xn − 1 + ... + cn은 x를 0으로 갖는 일계수 다항식이다. X의 대각합은 -c1이며, 이는 x에만 의존하므로 이를 x의 함수 T(x)로 쓰고 그 값을 'x의 대각합'이라 부른다. X의 행렬식은 (−1)ncn이며, 이 역시 x에만 의존하므로 이를 N(x)로 쓰고 'x의 노름'이라 한다. a가 Q의 원소이고 x, y가 F의 원소일 때, 대각합과 노름은 다음의 성질들을 만족한다.

  • T(x + y) = T(x) + T(y)
  • T(a) = aT(x)
  • N(xy) = N(x)N(y)
  • N(ax) = anN(x)

예를 들어, 이차수체 \mathbb Q(\sqrt d)를 생각해 보자 (d는 제곱인수가 없는 정수). 이는 차수가 2이다. 기저를 \{1,\sqrt d\}로 잡으면, 각 원소

a+b\sqrt d\in\mathbb Q(\sqrt d)

는 다음과 같은 2×2 정사각행렬로 적을 수 있다.

a+b\sqrt d\mapsto\begin{pmatrix}
a&db\\
b&a
\end{pmatrix}

이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.

T(a+b\sqrt d)=2a
N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]