대역체

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대수적 수론에서, 대역체(大域體, 영어: global field)는 대수적 수체 및 이와 유사한 함수체를 통틀어 이르는 개념이다.

정의[편집]

대역 함수체(大域函數體, 영어: global function field)는 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 이다.

K에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 대수적 수체 또는 대역 함수체와 동형인 이다. 즉, \mathbb Q유한 확대이거나 어떤 q에 대한 \mathbb F_q(t)의 유한 확대이다.
  • (대역체의 공리적 정의) K 위의 절댓값들의 각 동치류 가운데 적절한 대표원 \|-\|_v을 잡으면, 다음 두 공리가 성립한다.[1]
    • (곱 공식 영어: product formula) 임의의 a\in K^\times에 대하여 \{v\colon |a|_v\ne1\}<\aleph_0이며, 또한 \prod_v|a|_v=1이다. 여기서 \prod_vK 위의 모든 절댓값들의 동치류에서, 위에서 고른 대표원들에 대한 곱이다.
    • (국소성) 절댓값 \|-\|_v 가운데, 완비화 K_v국소체가 되는 것이 적어도 하나 이상 존재한다.

대수적 수체와 대역 함수체는 여러가지로 유사한 성질들을 갖는다.

자리[편집]

대수적 수체의 (자명하지 않은) 자리오스트롭스키 정리에 따라 다음 세 종류 가운데 하나이다.

  • 실수체로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대응하는 실수 자리.
  • 복소수체로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C의 동치류 \iota\sim\bar\iota에 대응하는 복소수 자리.
  • 대수적 정수환 \mathcal O_K의 각 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p진 자리.

대역 함수체 \mathbb F_q(x)의 (자명하지 않은) 자리는 다음 두 종류 가운데 하나이다.

이 경우, 모든 절댓값은 비아르키메데스 절댓값이다.

곱 공식[편집]

대역체 K의 자리 v는 절댓값들의 동치류이다. 이 동치류 속의 정규화 절댓값(영어: normalized absolute value) |\cdot|_v는 다음과 같다.

대수적 수체 K의 유한 자리 \mathfrak p\mid p의 경우 (p\in\mathbb{Spec}\mathbb Z\setminus\{(0)\}소수), 규격화 절댓값은 다음과 같다.[2]:184

|-|_{\mathfrak p}=p^{-f_{\mathfrak p}v_{\mathfrak p}(-)}

여기서 v_{\mathfrak p}는 규격화 이산 값매김(즉, 치역\mathbb Z인 값매김)이며,

f_{\mathfrak p}=[\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}/\mathfrak m_{K_{\mathfrak p}}:\mathbb F_p]

관성 차수(영어: inertia degree), 즉 잉여류체차수이다.

대수적 수체 K의 무한 자리 v\mid\infty의 경우, v에 대응하는 매장을 \iota_v\colon K\to\mathbb C라고 하면, 이에 대응하는 규격화 절댓값은 다음과 같다.[2]:184

|-|_v=|\iota(-)|^{f_v}

여기서 우변은 복소수체의 표준적인 절댓값이며,

f_v=\begin{cases}
1&\iota_v(K)\subset\mathbb R\\
2&\iota_v(K)\not\subset\mathbb R
\end{cases}

관성 차수이다.

대수적 함수체 K의 자리 V\mid v의 경우 (v\mathbb F_q[x]의 자리), 규격화 절댓값은 다음과 같다.

|-|_{\mathfrak P}=\exp(-f_Vv_P(-))

여기서 f_V관성 차수로, 다음과 같다.

f_V=[\mathcal O_{K_v}/\mathfrak m(\mathcal O_{K_v}):\mathbb F_q]

v_P\mathbb F_q[x] 위의, P에 대응하는 규격화 이산 절댓값이다. (여기서 e 대신 다른 상수를 사용해도 상관없다.)

이렇게 규격화 절댓값들을 정의하면, 다음과 같은 곱 공식이 성립한다.

  1. 임의의 a\in K에 대하여, |a|_v\ne1인 자리 v의 수는 유한하다.
  2. 임의의 a\in K에 대하여, \prod_v|a|_v=1이다.

대수적 정수환[편집]

대역체 K대수적 정수환 \mathcal O_K는 모든 비아르키메데스 절댓값 (유한 자리)에 대하여, 절댓값이 1 이하인 (즉, 이산 값매김이 음수가 아닌) 원소들의 집합이다.[1]:485

\mathcal O_K=\{a\in K\colon|a|_v\le1\forall v<\infty\}

다시 말해, K의 모든 국소체의 대수적 정수환들의 교집합이다.

만약 K/\mathbb Q대수적 수체라면, 그 대수적 정수환은 \mathbb Z\subset K정수적 폐포이다. 특히, \mathbb Q의 대수적 정수환은 \mathbb Z이다. \mathbb F_q(x)의 대수적 정수환은 다항식환 \mathbb F_q[t]이며, \mathbb F_q(x)의 유한 확대의 대수적 정수환은 \mathbb F_q[x]정수적 폐포이다.

대역체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K데데킨트 정역이며, \mathcal O_K의 0이 아닌 모든 아이디얼은 유한 지표를 갖는다.

참고 문헌[편집]

  1. Artin, Emil; Whaples, George (1945). “Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 51: 469–492. doi:10.1090/S0002-9904-1945-08383-9. 
  2. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 

바깥 고리[편집]