대역체

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대수적 수론에서, 대역체(大域體, 영어: global field)는 대수적 수체 및 이와 유사한 함수체를 통틀어 이르는 개념이다.

정의[편집]

대역 함수체(大域函數體, 영어: global function field)는 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 이다.

K에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 대수적 수체 또는 대역 함수체와 동형인 이다. 즉, \mathbb Q유한 확대이거나 어떤 q에 대한 \mathbb F_q(t)의 유한 확대이다.
  • (대역체의 공리적 정의) K 위의 절댓값들의 각 동치류 가운데 적절한 대표원 \|-\|_v을 잡으면, 다음 두 공리가 성립한다.[1]
    • (곱 공식 영어: product formula) 임의의 a\in K^\times에 대하여 \{v\colon |a|_v\ne1\}<\aleph_0이며, 또한 \prod_v|a|_v=1이다. 여기서 \prod_vK 위의 모든 절댓값들의 동치류에서, 위에서 고른 대표원들에 대한 곱이다.
    • (국소성) 절댓값 \|-\|_v 가운데, 완비화 K_v국소체가 되는 것이 적어도 하나 이상 존재한다.

대수적 수체와 대역 함수체는 여러가지로 유사한 성질들을 갖는다.

자리[편집]

대수적 수체의 (자명하지 않은) 자리오스트롭스키 정리에 따라 다음 세 종류 가운데 하나이다.

  • 실수체로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R에 대응하는 실수 자리.
  • 복소수체로의 매장 \iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C의 동치류 \iota\sim\bar\iota에 대응하는 복소수 자리.
  • 대수적 정수환 \mathcal O_K의 각 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p진 자리.

대역 함수체 \mathbb F_q(x)의 (자명하지 않은) 자리는 다음 두 종류 가운데 하나이다.

이 경우, 모든 절댓값은 비아르키메데스 절댓값이다.

곱 공식[편집]

대역체 K의 자리 v는 절댓값들의 동치류이다. 이 동치류 속의 정규화 절댓값(영어: normalized absolute value) |\cdot|_v는 다음과 같다.

대수적 수체 K의 유한 자리 \mathfrak p\mid p의 경우 (p\in\mathbb{Spec}\mathbb Z\setminus\{(0)\}소수), 규격화 절댓값은 다음과 같다.[2]:184

|-|_{\mathfrak p}=p^{-f_{\mathfrak p}v_{\mathfrak p}(-)}

여기서 v_{\mathfrak p}는 규격화 이산 값매김(즉, 치역\mathbb Z인 값매김)이며,

f_{\mathfrak p}=[\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}/\mathfrak m_{K_{\mathfrak p}}:\mathbb F_p]

관성 차수(영어: inertia degree), 즉 잉여류체차수이다.

대수적 수체 K의 무한 자리 v\mid\infty의 경우, v에 대응하는 매장을 \iota_v\colon K\to\mathbb C라고 하면, 이에 대응하는 규격화 절댓값은 다음과 같다.[2]:184

|-|_v=|\iota(-)|^{f_v}

여기서 우변은 복소수체의 표준적인 절댓값이며,

f_v=\begin{cases}
1&\iota_v(K)\subset\mathbb R\\
2&\iota_v(K)\not\subset\mathbb R
\end{cases}

관성 차수이다.

대수적 함수체 K의 자리 V\mid v의 경우 (v\mathbb F_q[x]의 자리), 규격화 절댓값은 다음과 같다.

|-|_{\mathfrak P}=\exp(-f_Vv_P(-))

여기서 f_V관성 차수로, 다음과 같다.

f_V=[\mathcal O_{K_v}/\mathfrak m(\mathcal O_{K_v}):\mathbb F_q]

v_P\mathbb F_q[x] 위의, P에 대응하는 규격화 이산 절댓값이다. (여기서 e 대신 다른 상수를 사용해도 상관없다.)

이렇게 규격화 절댓값들을 정의하면, 다음과 같은 곱 공식이 성립한다.

  1. 임의의 a\in K에 대하여, |a|_v\ne1인 자리 v의 수는 유한하다.
  2. 임의의 a\in K에 대하여, \prod_v|a|_v=1이다.

대수적 정수환[편집]

대역체 K대수적 정수환 \mathcal O_K는 모든 비아르키메데스 절댓값 (유한 자리)에 대하여, 절댓값이 1 이하인 (즉, 이산 값매김이 음수가 아닌) 원소들의 집합이다.[1]:485

\mathcal O_K=\{a\in K\colon|a|_v\le1\forall v<\infty\}

다시 말해, K의 모든 국소체의 대수적 정수환들의 교집합이다.

만약 K/\mathbb Q대수적 수체라면, 그 대수적 정수환은 \mathbb Z\subset K정수적 폐포이다. 특히, \mathbb Q의 대수적 정수환은 \mathbb Z이다. \mathbb F_q(x)의 대수적 정수환은 다항식환 \mathbb F_q[t]이며, \mathbb F_q(x)의 유한 확대의 대수적 정수환은 \mathbb F_q[x]정수적 폐포이다.

대역체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K데데킨트 정역이며, \mathcal O_K의 0이 아닌 모든 아이디얼은 유한 지표를 갖는다.

역사[편집]

대수적 수체와 대수적 함수체가 여러 유사한 성질을 가진다는 사실은 앙드레 베유가 1939년에 지적하였다.[3] 이에 대하여 베유는 1967년에 훗날 대역체를 차별하는 것을 인종 차별의 일종인 "분리된 평등함"(영어: separate but equal, 인종에 대하여 서로 다른 학교 등의 시설들을 사용하게 하는 것. 1954년 브라운 대 토피카 교육위원회 재판에 의하여 위헌으로 판결됨)에 비유하여 다음과 같이 적었다.

수론을 "요리"할 때 실수체를 (무한한 자리에서라도) 더 이상 불가결한 "재료"로 여기지 않는다면, 당연히 유한체 위의 함수체 역시 수체와 동시에 다루어져야 한다. 이전에 이들이 차별 대우를 받아 "분리되었지만 평등한" 설비들이 사용된 것과 다르게 말이다. 이렇게 한다면 두 "인종" 모두 잃는 것 없이 서로 혜택을 받는다는 것이 이 책의 독자에게 분명하리라고 희망한다.

Once the presence of the real field, albeit at infinite distance, ceases to be regarded as a necessary ingredient in the arithmetician’s brew, it goes without saying that the function-fields over finite fields must be granted a fully simultaneous treatment with number-fields, instead of the segregated status, and at best the separate but equal facilities, which hitherto have been their lot. That, far from losing by such treatment, both races stand to gain by it, is one fact which will, I hope, clearly emerge from this book.

 
[4]:Foreword

참고 문헌[편집]

  1. Artin, Emil; Whaples, George (1945). “Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 51: 469–492. doi:10.1090/S0002-9904-1945-08383-9. 
  2. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 
  3. Weil, André (1939년 1월 15일). “Sur l’analogie entre les corps de nombres algébriques et les corps de fonctions algébriques”. 《La Revue Scientifique》 (프랑스어) 77 (1): 104-106. ISSN 0370-4556. JFM 65.1140.01. 
  4. Weil, André (1967). 《Basic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 144 1판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61945-8. ISSN 0072-7830. Zbl 0176.33601. 

바깥 고리[편집]