분기화

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대수적 수론에서, 분기화(分岐化, 영어: ramification)는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.

분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.

  • 분기화를 아이디얼의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
  • 분기화를 체 위의 절댓값으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.

데데킨트 정역의 분기화[편집]

데데킨트 정역 D분수체 K=\operatorname{Frac}D유한 확대 \tilde K/K가 주어졌으며, D\tilde K 속에서의 정수적 폐포\tilde D라고 하자. 그렇다면 \tilde D 역시 데데킨트 정역이다.[1]:45, Proposition I.8.1

\begin{matrix}
D&\hookrightarrow&\tilde D\\
{\scriptstyle\operatorname{Frac}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{Frac}\\
K&\hookrightarrow&\tilde K\\
\end{matrix}

D 속의 0이 아닌 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{(0)\}에 대하여, 포함 준동형 \iota\colon D\hookrightarrow\tilde D에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

\iota(\tilde p)=\prod_{i=1}^{g(\mathfrak p)}{\tilde\mathfrak p}_i^{e_{\tilde{\mathfrak p}_i}}\qquad(\tilde{\mathfrak p}_i\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\},\;e_i>0\forall i)

그렇다면 e_{\tilde{\mathfrak p}}\tilde{\mathfrak p}_i분기 지표(分岐指標, 영어: ramification index)라고 한다.

또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다.

D/\mathfrak p\subseteq\tilde D/\tilde\mathfrak p_i

이 확대의 차수 f_{\tilde{\mathfrak p}}\tilde{\mathfrak p}관성 차수(慣性次數, 영어: inertia degree)라고 한다.

f_{\tilde{\mathfrak p}}=[\tilde D/\tilde\mathfrak p_i:D/\mathfrak p]

그렇다면 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.

[L:K]=\sum_{\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}}^{\tilde{\mathfrak p}\mid\mathfrak p}e_{\tilde{\mathfrak p}}f_{\tilde{\mathfrak p}}\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

힐베르트 이론[편집]

만약 확대 \tilde K/K갈루아 확대라면, 이에 대한 힐베르트 이론(Hilbert理論, 영어: Hilbert theory)이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\tilde K/K)\{\mathfrak p_i\}_{i=1,\dots,g(\mathfrak p)} 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 i에 대하여 e_if_i가 일치한다. 즉,

[L:K]=e(\mathfrak p)f(\mathfrak p)g(\mathfrak p)\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}

이다.

분해군[편집]

임의의 \tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}분해군(分解群, 영어: decomposition group) G_{\tilde{\mathfrak p}}\operatorname{Gal}(\tilde K/K)의 작용에 대한 \tilde{\mathfrak p}안정자군이다.[1]:54, Definition I.9.2 \tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}분해체(分解體, 영어: decomposition field) Z_{\tilde{\mathfrak p}}는 분해군에 의해 고정되는 \tilde K의 원소들로 구성되는 이다.

Z_{\tilde{\mathfrak p}}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma\tilde a=\tilde a\forall\sigma\in G_{\tilde{\mathfrak p}}\}

궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 i=1,\dots,g(\mathfrak p)에 대하여 안정자군의 크기는 같다.

|G_{\tilde{\mathfrak p}_i}|=|G|/g(\mathfrak p)=e(\mathfrak p)f(\mathfrak p)\forall i=1,\dots,g(\mathfrak p)

관성군[편집]

\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}가 주어졌고, \mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}\tilde{\mathfrak p}\mid \iota(\mathfrak p)인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형

\operatorname{Gal}(\tilde K/K)\twoheadrightarrow\operatorname{Gal}\left((\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)\right)

이 존재한다. 그 \tilde{\mathfrak p}관성군(慣性群, 영어: inertia group) I_{\tilde{\mathfrak p}}이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.[1]:57, Definition I.9.5 관성군의 크기는 항상 e(\mathfrak p)와 같으며, 갈루아 군 \operatorname{Gal}(\tilde K/K)의 작용에 불변이다.

I_{\tilde{\mathfrak p}}=I_{\sigma\cdot\tilde{\mathfrak p}}=e(\mathfrak p)\forall \sigma\in\operatorname{Gal}(\tilde K/K)

마찬가지로, \tilde{\mathfrak p}관성체(慣性體, 영어: inertia field) T_{\tilde{\mathfrak p}}는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.

T_{\tilde{\mathfrak p}}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma(\tilde a)=\tilde a\forall \sigma\in I_{\tilde{\mathfrak p}}\}

즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.

K\subseteq Z_{\tilde{\mathfrak p}}\subseteq T_{\tilde{\mathfrak p}}\subseteq\tilde K

또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

1\to I_{\tilde{\mathfrak p}}\to G_{\tilde{\mathfrak p}}\to\operatorname{Gal}(\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)\to1

T_{\tilde{\mathfrak p}}/Z_{\tilde{\mathfrak p}}갈루아 확대이며, 그 갈루아 군\operatorname{Gal}(\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)와 같다.

수체의 분기화[편집]

데데킨트 정역 D의 분수체 K=\operatorname{Frac}D대수적 수체일 경우를 생각하자. (D=\mathcal O_K인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식(영어: relative discriminant) \Delta_{\tilde K/K}\tilde D의 특별한 아이디얼이다.

그렇다면, 임의의 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathfrak p는 분기화된다.
  • \mathfrak p\mid\Delta_{\tilde K/K}이다.

특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

헨젤 값매김환의 분기화[편집]

분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.

헨젤 값매김환 (D,\nu,\mathfrak m)분수체 K=\operatorname{Frac}D유한 확대 \tilde K/K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, K의 값매김 \nu\tilde K 위에 다음과 같이 값매김 \tilde\nu를 유도한다.[1]:149

\tilde\nu\colon\tilde a\mapsto\frac1{[\tilde K:K]}\nu(\operatorname N_{\tilde K/K}(\tilde a)

여기서 \operatorname N_{\tilde K/K}체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 \tilde D=\{\tilde a\in\tilde K\colon\tilde\nu(\tilde a)\ge0\}라고 하고, 그 극대 아이디얼을 \tilde m이라고 하자.

이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.

\nu(K^\times)\subseteq\tilde\nu(\tilde K^\times)

그렇다면, \tilde K/K분기 지표 e(\tilde K/K)는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다.

e(\tilde K/K)=|\tilde\nu(\tilde K^\times)/\nu(K^\times)|

마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다.

D/\mathfrak m\subseteq\tilde D/\tilde{\mathfrak m}

그렇다면, \tilde K/K관성 차수 f(\tilde K/K)는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다.

f(\tilde K/K)=[\tilde D/\tilde{\mathfrak m}:D/\mathfrak m]

이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.[1]:150, Proposition II.6.8

[\tilde K:K]\ge e(\tilde K/K)f(\tilde K/K)

또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식(영어: fundamental identity)이라고 한다.

값매김환의 분기화[편집]

데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 \mathfrak p 대신, \mathfrak p로 정의되는 \mathfrak p진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.

절댓값 |-|_\nu이 주어진 체 K확대 \tilde K/K가 주어졌다고 하자. 이 경우 \nu\tilde K 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 \tilde K 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. \tilde\nu\nu의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) \tilde\nu\mid\nu로 쓴다.

만약 \nu가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표상대 차수를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 K\tilde K값매김환(D,\mathfrak m)(\tilde D,\mathfrak m)라고 하자. 그렇다면, 분기 지표는 다음과 같은 부분군의 지표이다.[1]:165

e_{\tilde\nu}=[\tilde\nu(\tilde K^\times):\nu(K^\times)]

\tilde\nu상대 차수(영어: relative degree)는 다음과 같은, 잉여류체확대의 차수이다.

f_{\tilde\nu}=[D_{\tilde\nu}/\mathfrak m_{\tilde\nu}:D/\mathfrak m]

만약 \nu이산 값매김을 정의하며, \tilde K/K분해 가능 확대라면, 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.[1]:165, Proposition II.8.5

\sum_{\tilde\nu\mid\nu}e_{\tilde\nu}f_{\tilde\nu}=[L:K]

값매김 힐베르트 이론[편집]

\tilde K/K갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.

(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 \nu의 확장 \tilde\nu이 주어졌을 때, \tilde\nu분해군 G_{\tilde\nu}갈루아 군 \operatorname{Gal}(\tilde K/K)의 작용에 대한 안정자군이다.[1]:167, Definition II.9.2

G_{\tilde\nu}=\{\sigma\in\operatorname{Gal}(\tilde K/K)\colon\tilde\nu\circ\sigma=\tilde\nu\}

이는 |-|_{\tilde\nu}에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.[1]:171 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 분해체 Z_{\tilde\nu}라고 한다.

Z_{\tilde\nu}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma(\tilde a)=\tilde a\forall \sigma\in G_{\tilde\nu}\}

만약 \tilde\nu가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군분기군을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 (D,\mathfrak m)(\tilde D,\tilde{\mathfrak m})을 정의한다면, 체의 확대

D/\mathfrak m\subseteq\tilde D/\tilde{\mathfrak m}

갈루아 확대임을 보일 수 있다.[1]:172, Proposition II.9.9 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 을 비아르키메데스 자리 \tilde\nu관성군 I_{\tilde\nu}이라고 한다.

1\to I_{\tilde\nu}\to G_{\tilde\nu}\to\operatorname{Gal}\left(\frac{\tilde D/\tilde{\mathfrak m}}{D/\mathfrak m}\right)\to1

이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 관성체 T_{\tilde\nu}라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 

바깥 고리[편집]