분기화

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대수적 수론에서, 분기화(分岐化, 영어: ramification)는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.

분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.

  • 분기화를 아이디얼의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
  • 분기화를 체 위의 절댓값으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.

데데킨트 정역의 분기화[편집]

데데킨트 정역 분수체 유한 확대 가 주어졌으며, 속에서의 정수적 폐포라고 하자. 그렇다면 역시 데데킨트 정역이다.[1]:45, Proposition I.8.1

속의 0이 아닌 소 아이디얼 에 대하여, 포함 준동형 에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

그렇다면 분기 지표(分岐指標, 영어: ramification index)라고 한다.

또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다.

이 확대의 차수 관성 차수(慣性次數, 영어: inertia degree)라고 한다.

그렇다면 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.

힐베르트 이론[편집]

만약 확대 갈루아 확대라면, 이에 대한 힐베르트 이론(Hilbert理論, 영어: Hilbert theory)이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 에 대하여 가 일치한다. 즉,

이다.

분해군[편집]

임의의 분해군(分解群, 영어: decomposition group) 의 작용에 대한 안정자군이다.[1]:54, Definition I.9.2 분해체(分解體, 영어: decomposition field) 는 분해군에 의해 고정되는 의 원소들로 구성되는 이다.

궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 에 대하여 안정자군의 크기는 같다.

관성군[편집]

가 주어졌고, 인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형

이 존재한다. 그 관성군(慣性群, 영어: inertia group) 이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.[1]:57, Definition I.9.5 관성군의 크기는 항상 와 같으며, 갈루아 군 의 작용에 불변이다.

마찬가지로, 관성체(慣性體, 영어: inertia field) 는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.

즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.

또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

갈루아 확대이며, 그 갈루아 군와 같다.

수체의 분기화[편집]

데데킨트 정역 의 분수체 대수적 수체일 경우를 생각하자. (인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식(영어: relative discriminant) 의 특별한 아이디얼이다.

그렇다면, 임의의 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 분기화된다.
  • 이다.

특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

헨젤 값매김환의 분기화[편집]

분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.

헨젤 값매김환 분수체 유한 확대 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 값매김 위에 다음과 같이 값매김 를 유도한다.[1]:149

여기서 체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 라고 하고, 그 극대 아이디얼을 이라고 하자.

이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.

그렇다면, 분기 지표 는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다.

마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다.

그렇다면, 관성 차수 는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다.

이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.[1]:150, Proposition II.6.8

또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식(영어: fundamental identity)이라고 한다.

값매김환의 분기화[편집]

데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 대신, 로 정의되는 진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.

절댓값 이 주어진 체 확대 가 주어졌다고 하자. 이 경우 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. 의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) 로 쓴다.

만약 가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표상대 차수를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 값매김환라고 하자. 그렇다면, 분기 지표는 다음과 같은 부분군의 지표이다.[1]:165

상대 차수(영어: relative degree)는 다음과 같은, 잉여류체확대의 차수이다.

만약 이산 값매김을 정의하며, 분해 가능 확대라면, 다음과 같은 기본 항등식(영어: fundamental identity)이 성립한다.[1]:165, Proposition II.8.5

값매김 힐베르트 이론[편집]

갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.

(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 의 확장 이 주어졌을 때, 분해군 갈루아 군 의 작용에 대한 안정자군이다.[1]:167, Definition II.9.2

이는 에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.[1]:171 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 분해체 라고 한다.

만약 가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군분기군을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 을 정의한다면, 체의 확대

갈루아 확대임을 보일 수 있다.[1]:172, Proposition II.9.9 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 을 비아르키메데스 자리 관성군 이라고 한다.

이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 관성체 라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 

바깥 고리[편집]