가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, 영어: integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.
가환환
의 부분환
및
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면
를
의
에 대한 정수적 원소라고 한다.
인 일계수 다항식
가 존재한다.
와
로 생성되는 부분환
는
의 유한 생성 가군이다.
이며
-유한 생성 가군을 이루는 부분환
가 존재한다.
이며
인
-유한 생성 가군
이 존재한다.
여기서
이다.
은
의 소멸자이다.
가환환
의 부분환
에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 영어: integral closure)는
에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는
의 부분환을 이룬다.
가환환
는 그 전분수환
의 부분환이다. 만약
의
속에서의 정수적 폐포가
라면,
를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 영어: integrally closed commutative ring)이라고 한다.
가환환
의 부분환
이 주어졌으며,
가
위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자,
-가군
의 소멸자
를
의
속의 도수(導手, 영어: conductor 콘덕터[*], 독일어: Führer 퓌러[*], 프랑스어: conducteur 콩뒤크퇴르[*])
라고 한다.[1]:79
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(S/R)=\operatorname {Ann} _{R}(S/R)=\{r\in R\colon rS\subseteq R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1955ee50812995b2dd6db9fccf0309b4ac077d3)
이는 소멸자이므로
의 아이디얼을 이루며,
의 아이디얼이자
의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.
가 정역이며,
가
의
속의 정수적 폐포라고 하고,
가
-유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면
의 소 아이디얼
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {f}}(S/R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc57b2bf45acbb9b5aedad59ade6415f01071e4)
- 국소화
는
속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.
이다. 즉,
이다.
-가군
는
위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수
로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합
의 여집합이다.
![{\displaystyle \operatorname {supp} (S/R)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon (S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\neq 0\}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {f}}(S/R)\}=(\operatorname {Spec} R)\setminus V({\mathfrak {f}}(S/R))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7683cac1f9b256191327fadaf89c168b06c65f1)
나가타 환[편집]
정역
가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.
의
속의 정수적 폐포
는
-유한 생성 가군이다.
정역
가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.
의 모든 유한 확대
에 대하여,
의
속의 정수적 폐포는
-유한 생성 가군이다.
뇌터 가환환
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(영어: Nagata ring)이라고 한다.[2]:264
- 임의의 소 아이디얼
에 대하여, 몫환
는 N-2환이다.
- 임의의 정역
및 환 준동형
에 대하여, 만약 이를 통하여
가
-유한 생성 가군을 이룬다면,
는 N-2환이다.
정역
및 그 분수체
가 주어졌다고 하자.
-단위 결합 대수
에 대하여,
속의
-정환(整環, 영어: order, 독일어: Ordnung)
는 다음 조건들을 만족시키는
의 부분환이다.
는
-단위 결합 대수이다.
는
-자유 가군이다. (즉,
-격자를 이룬다.)
이다.
속의
-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.
가 가환환일 때,
속의
-정환
의 모든 원소는
-정수적 원소이다. 따라서, 최대
-정환이 존재하며, 이는
의
속의 정수적 폐포이다. (이는
가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
정수적으로 닫힐 필요충분조건[편집]
정역
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 정수적으로 닫힌 가환환이다.
- 임의의 소 아이디얼
에 대하여, 국소화
는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
- 임의의 극대 아이디얼
에 대하여,
은 정수적으로 닫힌 국소환이다.
뇌터 정역
에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.
- 정수적으로 닫힌 가환환이다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
는 높이가 1인 소 아이디얼
들에 대한 국소화
들의 (분수체
속에서의) 교집합이다.
![{\displaystyle R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}^{\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa3cb56fadc0b982c7ce15e5b8e66bcce4aa50d)
- 임의의 높이가 1인 소 아이디얼
에 대하여,
는 이산 값매김환이다.
크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
은 주 아이디얼이다.
는 이산 값매김환이다.
는 데데킨트 정역이다.
는 정칙 국소환이다.
코언-사이던버그 정리[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
의 부분환
. 또한,
의 모든 원소는
-정수적 원소이다.
-소 아이디얼들의 사슬
및
-소 아이디얼들의 사슬
(
). 또한,
에 대하여
이다. 즉,
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&&&{\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}&&&&&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85bd6d18b91821447523d6c4bf1d8d11346c21a)
또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.
는 정역이며,
는 (
속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
이다.
그렇다면, 코언-사이던버그 정리(영어: Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
가 되게 소 아이디얼 사슬
를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는
-소 아이디얼
가 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\exists {\mathfrak {q}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}&\subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q}}_{k}&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p}}_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p}}_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p}}_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59250cfff892ad84595e40dca2a5aba15afb6aee)
여기서
라는 것은
임을 뜻한다.
즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(영어: going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(영어: going down).
크룰-아키즈키 정리[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다.
는 그 전분수환이다.
은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형
이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군
는 유한군이다.
은
의
속의 정수적 폐포이다.
크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 영어: Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
의 임의의 아이디얼
에 대하여, 만약
가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군
는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군
는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는
가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
- 만약
가 추가로 데데킨트 정역이라면,
역시 데데킨트 정역이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
는 가환 뇌터 축소환이다.
는 그 전분수환이다.
는
의
속의 정수적 폐포이다.
는
개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.
모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
는
개의 크룰 정역들의 직접곱이다.
이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.
코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(영어: Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다.
크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(일본어: 秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다.
모리-나가타 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)[3]와 나가타 마사요시[4] 가 증명하였다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]