크룰 정역

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기

가환대수학에서, 크룰 정역(Krull整域, 영어: Krull domain) 또는 크룰 환(Krull環, 영어: Krull ring)은 아이디얼의 인수 분해 이론이 비교적 단순한 정역이다. 데데킨트 정역의 고차원 일반화이다.

정의[편집]

임의의 정역 이 주어졌으며, 가 그 높이 1의 소 아이디얼들의 집합이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • 만약 정규환이라면, 이며, 만약 뇌터 환이라면 이다.
  • 만약 뇌터 환이라면, 임의의 에 대하여 유한 집합이다.
  • 만약 정규 뇌터 환이라면, 에 대한 국소화 이산 값매김환이다. (이는 1차원 뇌터 정수적으로 닫힌 정역이산 값매김환 조건과 동치이기 때문이다.)

그러나 위 세 성질은 임의의 정역에 대하여 성립하지 않는다.

크룰 정역은 위 세 성질들을 만족시키는 정역이다. 즉, 정역 가 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 크룰 정역이라고 한다.

  • 높이 1의 소 아이디얼들의 집합을 라고 하자. 임의의 에 대하여, 국소화 이산 값매김환이다.
  • 국소화는 분수체의 부분환 으로 생각할 수 있다. 그렇다면 이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면 유한 집합이다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환정역정수적으로 닫힌 정역 크룰 정역 데데킨트 정역
유일 인수 분해 정역 주 아이디얼 정역 유클리드 정역

크룰 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

뇌터 국소환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 크룰 환이다.
  • 의 (유일한 극대 아이디얼 에 대한) 완비화는 크룰 환이다.

정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

뇌터 정역 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

만약 가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 뇌터 정역이며, 분수체 위의 유한 대수적 확대라고 하자. 그렇다면, 속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)[1]나가타 마사요시[2] 가 증명하였다.

크룰 정역의 인자 이론[편집]

크룰 정역(의 스펙트럼) 위에서는 대수다양체와 마찬가지로 인자 이론을 정의할 수 있다.

크룰 정역 위의 베유 인자는 높이가 1인 소 아이디얼들의 형식적 선형 결합이다. 이들이 이루는 자유 아벨 군라고 하자. 영 아이디얼이 아닌 주 아이디얼소 아이디얼 주인자(영어: principal divisor)라고 하며, 이들은 아벨 군 를 이룬다. 크룰 정역 위의 카르티에 인자는 국소 주 베유 인자(영어: locally principal Weil divisor)이다. 카르티에 인자들 역시 아벨 군 를 이룬다. 이에 따라 아벨 군의 포함 관계

가 존재한다.

인자군의 주인자군에 대한 몫군

인자 유군이라고 한다. 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 몫군

피카르 군이라고 한다. 이는 위의 가역층들의 텐서곱에 대한 아벨 군과 동형이다.

[편집]

유일 인수 분해 정역 위의, 가산 무한 개의 변수의 다항식환 는 크룰 정역이지만, 뇌터 환이 아니다.

역사[편집]

볼프강 크룰이 1931년에 도입하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Mori, Yoshiro (1953). “On the integral closure of an integral domain”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 27: 249–256. MR 58583. 
  2. Nagata, Masayoshi (1955). “On the derived normal rings of Noetherian integral domains”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 29: 293–303. MR 0097388. 
  3. Krull, Wolfgang (1931). “Allgemeine Bewertungstheorie”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 167: 160–196. JFM 58.0148.02. Zbl 0004.09802. doi:10.1515/crll.1932.167.160. 

외부 링크[편집]