유클리드 정역

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유클리드 정역(Euclid 整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

정의[편집]

정역 R 위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function) \scriptstyle f: R \setminus \{0\} \to \mathbb N는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의 a\in Rb\in R\setminus\{0\}에 대하여,
a=bq+r
이며 r=0 또는 f(r)<f(b)q,r\in R가 존재한다.

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.

  • 임의의 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, f(a)\le f(ab)

그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

성질[편집]

모든 는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.

가환환정역정수적으로 닫힌 정역크룰 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋

[편집]

  • 정수환 \mathbb{Z}는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 |\cdot|으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
  • K 위의 다항식환 K[x]는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 \deg p\in\mathbb N이다.
  • K 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 K[[x]] 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 \deg p\in\mathbb Z이다.
  • 가우스 정수의 환 \mathbb Z[i]은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는
f(a+bi)=a^2+b^2\in\mathbb N
와 같이 정의할 수 있다.

다항식환의 유클리드 함수[편집]

다항식환 K[x]에서, 차수 \deg가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. f,g\in K[x]이며, g\ne0이라고 하자. 이 경우,

f=gq+r

이며 \deg r<\deg gq,r\in K[x]의 존재를 보이면 된다.

집합 S\subset K[x]

S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}

와 같이 정의하자. 자명하게, S가 공집합일 수는 없다. r를 S의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면

f=qg+r

를 만족시키는 q\in K[x]가 존재한다. 이제, \deg r<\deg g이거나 \deg r\ge\deg g이다. 귀류법을 사용해, \deg r\ge\deg g라고 가정하자.

r=ax^{\deg r}+\cdots
g=bx^{\deg g}+\cdots

라면,

\tilde r=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S

이지만

\deg\tilde r<\deg r

이므로 모순이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]