교대 대수

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추상대수학에서, 교대 대수(交代代數, 영어: alternating algebra)는 결합 법칙보다 더 약한 형태의 결합성을 만족시키는 체 위의 대수이다.

정의[편집]

표수가 2가 아닌 위의 대수 에 대하여, 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수를 교대 대수라고 한다.

  • 다음 세 항등식 가운데 적어도 두 개가 성립한다.
    • 임의의 에 대하여, . 즉, 이다.
    • 임의의 에 대하여, . 즉, 이다.
    • 임의의 에 대하여, . 즉, 이다.
  • 위 세 항등식 모두가 성립한다.
  • 결합자 가 완전 반대칭이다. 즉, 임의의 순열 에 대하여 이다.

여기서

결합자이다.

성질[편집]

항등원을 갖는 교대 대수에서, 가역원들의 집합은 곱셈에 대하여 모우팡 고리(영어: Moufang loop)를 이룬다.

아르틴 정리(영어: Artin’s theorem)에 따르면, 교대 대수에서 임의의 두 개의 원소로 생성되는 부분 대수는 항상 결합 대수이다.

모든 합성 대수(영어: composition algebra)는 교대 대수를 이룬다. 체 위의 모든 결합 대수는 교대 대수를 이룬다.

[편집]

팔원수-대수는 결합 대수가 아닌 교대 대수이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]