리 군

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리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 매끄러운 다양체위상군이다. 즉 의 연산이 매끄러움 구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

정의[편집]

위상군 매끄러운 다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

역시 매끄러운 함수라고 하자. 그렇다면 리 군이라고 한다. (사실, 힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따라 다양체 · 매끄러운 다양체 · 해석다양체를 구분할 필요가 없다.) 범주론적으로, 이를 매끄러운 다양체범주에서의 군 대상으로 정의할 수도 있다. 리 군의 사상(영어: morphism)은 매끄러운 함수군 준동형이다.

짝수 차원 리 군 복소다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

정칙 함수라고 하자. 그렇다면 복소수 리 군(영어: complex Lie group)이라고 한다. 복소수 리 군의 사상(영어: morphism)은 정칙 함수군 준동형이다.

표현[편집]

리 군 G의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끄러운 군 준동형 이다. 힐베르트 공간 위의 표현일 경우, 대개 가역 유계 작용소의 군 으로 가는 매끄러운 준동형 로 정의한다.

반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 나타내어진다.

성질[편집]

리 군은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.

위상수학적 성질[편집]

국소적으로 유클리드 공간위상동형위상군은 항상 하우스도르프 공간이다.[2]:9, Exercise 1.1.6 따라서, 파라콤팩트 조건만을 추가하면 자동적으로 다양체를 이룬다.

힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 파라콤팩트 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다.[2]:9, Theorem 1.1.13 또한, 이러한 리 군은 유일하다.[2]:38, Corollary 1.2.23 즉, 리 군을 정의할 때, 다양체매끄러운 다양체를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 해석함수매끄러운 다양체)로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 해석함수가 되게 할 수 있다.[2]:45, Exercise 1.2.21

두 리 군 사이의 연속 군 준동형은 항상 매끄러운 함수이자 해석함수이다.[2]:45, Exercise 1.2.21

분류[편집]

연결 공간이 아닌 리 군 는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. 을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대이다. 모든 연결 리 군은 또한 (범피복군을 취하여) 단일 연결 리 군 몫군 (여기서 은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

역사[편집]

리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"(독일어: Transformationsgruppe 트란스포르마치온스그루페[*])이라는 이름으로 도입하였다.[3][4][5][6][7][8] 그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》(독일어: Theorie der Transformationsgruppen)을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,[9][10][11] 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다.[12][13][14][15] 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스(프랑스어: Arthur Tresse)는 "리 군"(프랑스어: groupe de Lie)이라는 용어를 최초로 사용하였다.[16]:3 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다.[17] 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.[1]:§26

헤르만 바일반단순 리 군기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이에 대한 바일 지표 공식을 증명하였으며, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

참고 문헌[편집]

  1. Cartan, Élie (1930). “La théorie des groupes finis et continus et l’Analysis situs. 《Mémorial des sciences mathématiques》 (프랑스어) 42: 1–61. JFM 56.0370.08. 
  2. Tao, Terrence (2014). 《Hilbert’s fifth problem and related topics》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 153. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1564-8. 
  3. Lie, Sophus (1874). “Ueber Gruppen von Transformationen”. 《Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen》 (독일어) 1874: 529–542. JFM 06.0093.01. 
  4. Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformations-Gruppen. Erste Abhandlung”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 19–58. JFM 08.0212.01. 
  5. Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung II”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 152–202. JFM 08.0212.01. 
  6. Lie, Sophus (1878). “Theorie der Transformations-Gruppen, III. Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 93–165. JFM 10.0258.01. 
  7. Lie, Sophus (1878). “Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung IV”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 3: 375–460. JFM 10.0260.01. 
  8. Lie, Sophus (1879). “Theorie der Transformations-Gruppen V”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 4: 232–261. JFM 11.0258.02. 
  9. Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1888). 《Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt》 (독일어). 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 20.0368.01. 
  10. Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1890). 《Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt》 (독일어). 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 23.0364.01. 
  11. Lie, Sophus; Engel, Friedrich (1893). 《Theorie der Transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt》 (독일어). 라이프치히: Druck und Verlag von B. G. Teubner. JFM 25.0623.01. 
  12. Killing, Wilhelm (1888). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Erster Theil”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 31 (2): 252–290. doi:10.1007/BF01211904. JFM 20.0368.03. 
  13. Killing, Wilhelm (1889). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 33 (1): 1–48. doi:10.1007/BF01444109. JFM 20.0368.03. 
  14. Killing, Wilhelm (1889). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 34 (1): 57–122. doi:10.1007/BF01446792. JFM 21.0376.01. 
  15. Killing, Wilhelm (1890). “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Vierter Theil (Schluss)”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 36 (2): 161–189. doi:10.1007/BF01207837. JFM 22.0376.01. 
  16. Tresse, Arthur (1893). “Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations” (PDF). 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 18: 1–88. doi:10.1007/bf02418270. ISSN 0001-5962. JFM 25.0641.01. 
  17. Cartan, Élie (1894). “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus” (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et Cie. JFM 25.0638.02. 

리 이론의 역사[편집]

응용[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]