하이젠베르크 군

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수학에서, 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의[편집]

심플렉틱 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 집합 에 다음과 같은 군 연산을 주자.

이는 의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 라고 한다. 이는 (아벨 군으로서의) 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 들의 짧은 완전열이 존재한다.

만약 가 유한 차원이라면, 하이젠베르크 군 행렬군으로 나타낼 수 있다. 이고, 또한

라고 하자. 그렇다면 를 다음과 같은 꼴의 행렬들의 군으로 생각할 수 있다.

보통 가 명시되어 있지 않은 경우, 인 경우에 해당한다. 즉, 를 의미한다.

리 대수[편집]

하이젠베르크 군 리 대수 는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

이 경우, 행렬 지수 함수는 다음과 같다.

에 다음과 같은 기저를 잡자.

그렇다면 리 괄호는 다음과 같다.

이는 멱영 리 대수를 이룬다.

표현론[편집]

하이젠베르크 군의 군 표현론스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 위의 다음과 같은 표현 와 동형이다.

이를 리 대수 에 대하여 표기하면 다음과 같다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]