리 대수

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리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 야코비 항등식을 만족하는 겹선형 반대칭 이항연산을 지닌 벡터 공간이다. 통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 \mathfrak g,\mathfrak h 등으로 나타낸다.

정의[편집]

\mathbb F 위에 정의된 리 대수 (\mathfrak g,[\cdot, \cdot])벡터 공간 \mathfrak g과 다음을 만족하는 이항연산 [\cdot,\cdot]:\mathfrak g\times\mathfrak g \to v로 이루어진다.

  • 겹선형성(영어: bilinearity): 모든 x, y, z \in \mathfrak ga, b \in\mathbb F에 대해 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]이다.
  • 교대성(alternating): 모든 x\in \mathfrak g에 대하여 [x,x]=0이다.
  • 야코비 항등식: 모든 x , y, z \in \mathfrak g에 대해 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0이다.

이항 연산리 괄호(Lie括弧, 영어: Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 \mathbb F표수가 2가 아니라면, 교대성을 반대칭성, 즉 모든 x,y\in \mathfrak g에 대하여 [x,y]+[y,x]=0인 성질로 대체할 수 있다. (표수가 2인 체에서는 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

부분 대수와 아이디얼[편집]

리 대수 \mathfrak g부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) \mathfrak h는 리 괄호에 대하여 닫힌 부분 벡터 공간이다. 즉, \mathfrak h\subset\mathfrak g이며 [\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h이다.

리 대수 \mathfrak g아이디얼(영어: ideal) I\subset\mathfrak g[\mathfrak g,I]\subset I를 만족하는 선형부분공간이다. 모든 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론정규부분군이나 환론아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 상(商, quotient) 리 대수 \mathfrak g/I를 정의할 수 있다. 모든 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

리 군과의 관계[편집]

실수복소수에서 정의한 리 대수는 실수 및 복소수 리 군의 국소적 구조를 나타낸다. 구체적으로, 리 제3정리(영어: Lie's third theorem)에 따르면, 리 군의 범주에서 리 대수(와 그 준동형)의 범주로 가는 충실한 함자를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다. 리 군 G가 주어지면, 1\in G 주위의 접공간 T_1G를 생각하자. 이 공간은 좌불변벡터장(left-invariant vector field)[1] 의 공간과 v\mapsto(X_g=\mathcal L_{g^*}v)와 같은 사상에 의하여 동형이다. 좌불변벡터장은 리 괄호에 대하여 닫혀 있으므로, 좌불변벡터장의 집합은 리 대수를 이룬다. 보통 어떤 "리 군의 리 대수"는 이를 의미한다.

이 함자는 충실한 함자이지만, (대상에 대하여) 전사적이지 않고, 단사적이지도 않다. 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 두겹덮개다) 같은 리 대수 \mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)를 지닌다. 전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다. (정의에 따라 모든 매끄러운 다양체는 유한 차원이지만, 무한 차원 다양체의 개념을 도입하여도 이 문제는 쉽게 해결할 수 없다.) 그러나 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) 범주의 동치를 이룬다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 \mathfrak{so}(5)이다.

구조론과 분류[편집]

우선 다음 성질을 정의하자.

  • 가환 리 대수(可換Lie代數, 영어: Abelian Lie algebra)는 임의의 x,y\in\mathfrak g에 대하여 [x,y]=0인 대수다.
  • 가해 리 대수(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 다음을 만족한다. \mathfrak g_0=\mathfrak g이고, \mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g_k]로 정의하자. 그렇다면 \mathfrak g_k=0k\in\mathbb N이 존재한다.
  • 단순 리 대수는 자신이나 0이 아닌 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
  • 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음을 보일 수 있다.

  • 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다 (아도 정리, Ado's theorem).
  • 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접곱으로 나타낼 수 있다 (E. E. Levi, 1905).
  • (실수 또는 복소) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 가환 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
  • 모든 반단순 리 대수단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

역사[편집]

소푸스 리리 군을 다루기 위하여 도입하였다. 원래 "무한소군"(영어: infinitesimal group)으로 불렸으나, 헤르만 바일이 이를 "리 대수"라고 이름붙였다.

각주[편집]

  1. 임의의 g,h\in G에 대하여 \mathcal L_{g^*}X_h=X_{gh}를 만족하는 벡터장 X. 여기서 L_{g^*}L_g\colon h\to gh를 미분한 것이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]