자유 리 대수

리 군론에서 자유 리 대수(自由Lie代數, 영어: free Lie algebra)는 리 대수의 범주의 자유 대상이다. 즉, 야코비 항등식 등 리 대수의 정의에 속하는 관계 밖의 다른 특별한 관계를 갖지 않는 리 대수이다.

정의

가환환 $R$ 위의 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 주어진 집합 $S$ 위의 $R$ 계수의 자유 리 대수 $L(S)$를 정의할 수 있다. 즉, 범주론적으로 리 대수의 범주 $\operatorname {LieAlg} _{R}$에서 집합의 범주 $\operatorname {Set}$로 가는 망각 함자

$\operatorname {Forget} \colon \operatorname {LieAlg} _{R}\to \operatorname {Set}$

의 왼쪽 수반 함자 $L$이 존재하며,

$L\dashv \operatorname {Forget}$

집합 $S$로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 함자의 상 $L(S)$이다.

체 $K$ 위의 자유 리 대수는 구체적으로 다음과 같이 묘사할 수 있다. 집합 $S$ 위의 자유 리 대수를 $L(S)$라고 하고, $S$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 $K\langle S\rangle$라고 하자. 그렇다면 $L(S)$는 자연스럽게 $K\langle S\rangle$의 부분 집합을 이루며, $K\langle S\rangle$는 $L(S)$의 보편 포락 대수이다. $L(S)$는 $K\langle S\rangle$ 속의, $S$로 생성되는 부분 리 대수이다.

체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소의 항의 수)와 같다.

성질

차원

집합 $S$에 의하여 생성되는 체 $K$ 계수의 자유 리 대수를 생각하자. 만약 $S$가 공집합이라면, $L(S)$는 0차원 리 대수이다. 만약 $S$가 한원소 집합이라면, $L(S)$는 1차원 아벨 리 대수이다. 만약 $S$의 집합의 크기가 2 이상이라면, $L(S)$는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다.

$\dim _{K}L(S)={\begin{cases}|S|&|S|\leq 1\\\aleph _{0}&2\leq |S|\leq \aleph _{0}\\|S|&S\geq \aleph _{0}\end{cases}}$

자유 리 대수의 부분 리 대수

시르쇼프-비트 정리(Ширшов-Witt定理, 영어: Shirshov–Witt theorem)에 따르면, 자유 리 대수의 모든 부분 리 대수는 자유 리 대수이다.

구체적 기저

체 위의 자유 리 대수의 기저는 구체적으로 린든 단어(영어: Lyndon word)로 주어진다. 크기가 $k$인, 전순서가 주어진 알파벳 $\Sigma$ 위의 길이 $n$의 문자열 $s=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}\in \Sigma ^{*}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 문자열을 린든 단어라고 한다.

• $s$의 모든 회전 $R^{i}(s)=s_{i}s_{i+1}\cdots s_{n}s_{1}s_{2}\cdots s_{i-1}$들을 생각하자. 그렇다면, $s$는 문자열 집합 $\{R^{i}(s)\colon i=0,1,\dots ,k-1\}$ 가운데 사전식 순서에 대하여 유일한 최소 원소이다.
• 임의의 문자열 $a,b\in \Sigma ^{*}$에 대하여 $s=ab$라고 한다면, 사전식 순서 아래 항상 $a<b$이다.

따라서, 임의의 린든 단어 $s$는 더 짧은 두 린든 단어 $u,v$를 이은 것이다. 더 짧은 린든 단어로의 분해 $s=uv$에 대하여, $v$가 가장 긴 경우를 표준 분해(영어: standard factorization)라고 한다.

유한 집합 $\Sigma$ 위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수 $L(\Sigma )$의 어떤 기저와 표준적으로 일대일 대응하며, 이 기저를 린든 기저(영어: Lyndon basis)라고 한다. 린든 단어 $s$에 대응하는 린든 기저 벡터 $\gamma (s)$는 다음과 같다.

• 만약 $s$의 길이가 1이라면, $\gamma (s)=s\in \operatorname {Span} _{K}\Sigma$
• 만약 $s$의 길이가 2 이상이며, 그 표준 분해가 $s=uv$라면, $\gamma (s)=[\gamma (u),\gamma (v)]$

예를 들어, 알파벳 $\Sigma =\{0,1\}$ 위의 린든 단어들은 다음과 같다.

ε, 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

(ε는 길이 0의 문자열이며, 이는 린든 기저에 포함되지 않는다.)

크기 $k$ 위의 알파벳 위의, 길이 $n$의 린던 단어의 수는 목걸이 다항식

$M_{n}(k)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)k^{d}$

로 주어진다. ($\mu$는 뫼비우스 함수이다.) 즉, $k$개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의, 등급 $n$ 부분 공간의 차원은 $M_{n}(k)$이다.

외부 링크

• “Lie algebra, free”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Basic commutator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Shirshov basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 자유군
• 자유 아벨 군
• 자유 단위 결합 대수