텐서 대수

선형대수학에서 텐서 대수(tensor代數, 영어: tensor algebra)는 어떤 벡터 공간 또는 가군 위의 원소들로부터 생성되는 비가환 다항식들로 구성되는 등급 단위 결합 대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V$ 위의 텐서 대수 $\operatorname {T} (V)$ 는 다음과 같은 $K$ 위의 등급 가군이다.

\operatorname {T} (V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\overbrace {V\otimes _{K}V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V} ^{n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots

\operatorname {T} ^{n}(V)=\overbrace {V\otimes _{K}V\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V} ^{n}

이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

\otimes \colon \operatorname {T} ^{m}(V)\times \operatorname {T} ^{n}(V)\to \operatorname {T} ^{m+n}(V)

\otimes \colon \left((u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{m}),(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})\right)\mapsto u_{1}\otimes \cdots u_{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\in \operatorname {T} ^{m+n}(V)

이는 결합 법칙을 만족시키고, 또 항등원 $1_{K}\in K=\operatorname {T} ^{0}(V)$ 을 갖는다. 따라서, 텐서 대수는 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

호프 대수 구조

텐서 대수 $\operatorname {T} (V)$ 위에는 다음과 같이 호프 대수의 구조가 존재한다. 여기서 $\Delta$ 는 쌍대곱, $S$ 는 앤티포드이다.

\Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,m-p)}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (m)}\right)

S(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m})=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}

여기서 $\operatorname {Sh} (p,m-p)\subseteq \operatorname {Sym} (p)$ 는 $(p,m-p)$ -셔플 순열의 집합이다.

비가환 다항식 대수

집합 $\{x_{i}\}_{i\in I}$ 에 의하여 생성되는, 가환환 $K$ 위의 자유 단위 결합 대수는 자유 가군 $K^{\oplus |I|}$ 위의 텐서 대수와 같으며, 비가환 다항식 대수(영어: noncommutative polynomial algebra)라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.