보편 포락 대수

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리 대수 이론에서, 보편 포락 대수(普遍包絡代數, 영어: universal enveloping algebra)는 주어진 리 대수리 괄호를, 결합 법칙을 만족시키는 곱셈에 대한 교환자로 나타내는 대수이다.

정의[편집]

보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

구체적 정의[편집]

가환환 에 대한 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서 대수

에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 를 생각하자.

양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

보편 포락 대수 라고 한다. 이는 -결합 대수를 이룬다. 이므로, 자연스러운 -선형 변환

이 존재한다.

보편 포락 대수 텐서 대수 로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.

  • 곱셈:
  • 단위원:
  • 쌍대곱:
  • 쌍대단위원:
  • 앤티포드:

범주론적 정의[편집]

가환환 가 주어졌을 때, -리 대수의 범주 -결합 대수의 범주 를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자

왼쪽 수반 함자

를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 을 그 보편 포락 대수라고 한다.

성질[편집]

환론적 성질[편집]

임의의 가환환 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

임의의 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

푸앵카레-버코프-비트 정리[편집]

푸앵카레-버코프-비트 정리(-定理, 영어: Poincaré–Birkhoff–Witt theorem)에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환단사 함수이다.

또한, 는 항상 로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 가환환 위의 리 대수 가 주어졌다고 하고, -자유 가군이라고 하자. (하멜) 기저 를 고르자. 또한, 위에 임의의 전순서를 부여하자.

그렇다면, 역시 -자유 가군이며, 집합

(하멜) 기저를 이룬다. 여기서 은 자연수의 집합이며, 특히 일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

하리시찬드라 동형 정리[편집]

복소수체 위의 가약 리 대수(영어: reductive Lie algebra) 의 보편 포락 대수 중심 을 생각하자. 이 경우, 바일 군 을 정의할 수 있다. 또한, 카르탕 부분 대수 를 고른다면, 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 위의 다항식환 (대칭 대수) 위에도 자연스럽게 작용한다.

하리시찬드라 동형 정리(हरीश चन्द्र同型定理, 영어: Harish-Chandra isomorphism theorem)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.

여기서 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

카시미르 불변량[편집]

차원 복소수 단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 킬링 형식

이 존재한다. 그렇다면, 임의의 -정규 직교 기저

가 주어졌을 때, 카시미르 불변량(Casimir不變量, 영어: Casimir invariant)은 다음과 같은 보편 포락 대수 의 원소이다.

보다 일반적으로, 체 위의 유한 차원 리 대수 위의 대칭 쌍선형 형식

딸림표현 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.

그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량 를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다. 일 경우, 단일 연결 리 군 리 대수 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 위의 라플라스-벨트라미 연산자 와 같다.

역사[편집]

1880년대에 알프레도 카펠리(이탈리아어: Alfredo Capelli)가 리 대수 에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 리 대수에 대하여 증명하였다.[1] 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프[2]에른스트 비트[3]가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”(프랑스어: théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt)로 일컫기 시작하였다.[4]

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Poincaré, Henri (1900). “Sur les groupes continus”. 《Transactions of the Cambrdige Philosophical Society》 (프랑스어) 18: 220–225. 
  2. Birkhoff, Garrett (1937년 4월). “Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 38 (2): 526–532. JSTOR 1968569. doi:10.2307/1968569. 
  3. Witt, Ernst (1937). “Treue Darstellung Liescher Ringe”. 《J. Reine Angew. Math.》 (독일어) 177: 152–160. 
  4. Bourbaki, Nicolas (1960). 《Groupes et algèbres de Lie》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. 

외부 링크[편집]