킬링 형식

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리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, 영어: Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

정의[편집]

추상적 정의[편집]

위의 리 대수 가 주어졌다고 하고, 또한 가 유한 차원 -벡터 공간이라고 하자. 이제, 딸림표현

를 생각하자. 그렇다면, 킬링 형식

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

.

여기서 대각합딸림표현에서 취한 것이다.

성분을 통한 정의[편집]

위의 유한 차원 리 대수 기저 를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

라고 하자. 그렇다면, 킬링 형식은 다음과 같다.

성질[편집]

킬링 형식은 대각합의 순환성()에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

직합[편집]

위의 두 유한 차원 리 대수 , 에 대하여, 그 직합 의 킬링 형식은 다음과 같다.

실수체 위의 리 대수[편집]

또한, 만약 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, 영어: Cartan criterion)이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

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아벨 리 대수[편집]

임의의 체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 의 킬링 형식은 항상 0이다.

행렬 리 대수[편집]

임의의 체 및 자연수 에 대하여, 일반 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.

또한, 특수 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.

증명:

편의상, 의 기저 번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,

이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,

이다. 따라서,

라고 놓으면,

가 된다. 따라서,

이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해

아래, 아벨 리 대수 의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

리 대수 설명 킬링 형식
gl(n, ℂ) n×n 복소수 행렬 2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ) n×n 무대각합 복소수 행렬 2n tr(XY)
su(n) n×n 반에르미트 행렬 2n tr(XY)
so(n, ℝ) n×n 반대칭 실수 행렬 (n−2) tr(XY)
so(n, ℂ) n×n 반대칭 복소수 행렬 (n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ) 2n×2n 실수 해밀턴 행렬 (2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ) 2n×2n 복소수 해밀턴 행렬 (2n+2) tr(XY)

리 대수의 계량과 이중 콕서터 수[편집]

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 가 되게 규격화한다.[1]:27[2]:§13.1.10 이 경우 짧은 근의 길이는 Bn, Cn, F4인 경우 1 또는 G2의 경우 이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.[3]

리 대수 행렬 표현 규격화 계량 형식
su(n) n×n 반에르미트 행렬 − tr(XY)
so(n, ℝ) n×n 반대칭 행렬 − ½tr(XY)
usp(2n) 2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬 − tr(XY)
n×n 사원수 반에르미트 행렬 − tr(XY + YX)
e6 27×27 반에르미트 행렬 − (9/4) tr(XY)
e7 56×56 반대칭 행렬 − (3/2) tr(XY)
e8 248×248 반대칭 행렬 − (41/10) tr(XY)
f4 26×26 반대칭 행렬 − (4/3) tr(XY)
g2 7×7 반대칭 행렬 − (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 에 대하여 항상

이다.[3]

이렇게 규격화한 계량 형식을 로 놓으면,

이다.[4]:§6.1[2]:§13.1.2 여기서 는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

리 대수 an bn cn dn e6 e7 e8 f4 g2
다른 이름 SU(n+1) SO(2n+1) USp(2n) SO(2n)
이중 콕서터 수 n+1 2n−1 n+1 2n−2 12 18 30 9 4

역사[편집]

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.[5] 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. Slansky, R. (1981년 12월). “Group theory for unified model building”. 《Physics Reports》 (영어) 79 (1): 1–128. Bibcode:1981PhR....79....1S. ISSN 0370-1573. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2. 
  2. Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》. ISBN 978-1-4612-7475-9. doi:10.1007/978-1-4612-2256-9. 
  3. Hori, Kentaro. “Some notes on compact Lie groups” (PDF). 
  4. Kac, Victor G. (1990). 《Infinite Dimensional Lie Algebras》 3판. ISBN 9780521466936. doi:10.1017/CBO9780511626234. 
  5. Cartan, Élie (1894). 《Sur la structure des groupes de transformations finis et continus》. Thesis. Nony. 
  • Bump, Daniel (2004). 《Lie Groups》. Graduate Texts In Mathematics (영어) 225. Springer. ISBN 978-0-387-21154-1. 
  • Fuchs, Jurgen (1992). 《Affine Lie Algebras and Quantum Groups》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X. 

외부 링크[편집]