리 초대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, 영어: simple Lie superalgebra)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.
가환환
위의 리 초대수
의 아이디얼은
의 부분 리 초대수
가운데
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}\}\subseteq {\mathfrak {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1087864ecf61451f067d74522cf153853ec7c9e7)
인 것이다.
표수 0의 체 위의 리 초대수
가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은
과
전체이다.
인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)
표수 0의 체 위의 단순 리 초대수
가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, 영어: classical Lie superalgebra)라고 한다.
의,
위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.
고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, 영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 영어: hyperclassical algebra)라고 하며,
,
,
,
이 있다.
복소수 단순 리 초대수[편집]
표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.[1]:45, Theorem 2
이름 |
기호 |
조건 |
보손 부분 대수 |
보손 차원 |
페르미온 표현 |
페르미온 차원
|
특수 선형 |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1508bcd6caba4df41a70fc111c0135282e7bf6b) |
![{\displaystyle 1\leq m<n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c281ebae4932048a37458333684959071e2c8855) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9257c6495a8c98be2450d29815dbd317e3cca8dd) |
![{\displaystyle m^{2}+n^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec27169bad485ab330020a5b839e0457b3b801f) |
![{\displaystyle (\mathbf {n} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {n} }},\mathbf {m} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3541527800759621d0f94154ddd80f117f9b2bba) |
|
사영 특수 선형 |
![{\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab947456ab5db66f850101e7d52baba49bde5de2) |
![{\displaystyle m\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca2e437e89ef4565a87f1a6d90ed37eef1d8ce3) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c101871ab02dbdbb0bcbfa8bb531bc70461508) |
![{\displaystyle 2n^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390d01478f62ce4cd446122acba9efd6535c4517) |
![{\displaystyle (\mathbf {m} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {m} }},\mathbf {m} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3a0df3753e4d9783c6050add38ed9084e81058) |
|
직교-심플렉틱 |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e865da9400201fc061d76e8b1cafcadb7dfe6a) |
, ![{\displaystyle n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe) |
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e7477d9c687073f423dc837e8a0a09a28875a6) |
![{\displaystyle m(m-1)/2+n(2n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b932f068d5650f4f34b4177220fe90684fc608) |
![{\displaystyle (\mathbf {m} ,\mathbf {2n} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb46661d25b4b68466d6556376167fcadd964102) |
|
이상한 |
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a8d851f0ab1ed956cfe9061477ddcdd3371475) |
![{\displaystyle n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73136e4a27fe39c123d16a7808e76d3162ce42bb) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd7d851a2f9f6909709818ccf45d0396d235b4b) |
![{\displaystyle n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9810bbdafe4a6a8061338db0f74e25b7952620) |
![{\displaystyle \mathbf {(n^{2}-1)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d17fea28664b096d248f6f055caac2540832d11) |
|
페리플렉틱 |
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b639ea11fe6cb23c46bb8e6254b5bf59be45c7e4) |
![{\displaystyle n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73136e4a27fe39c123d16a7808e76d3162ce42bb) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd7d851a2f9f6909709818ccf45d0396d235b4b) |
![{\displaystyle n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9810bbdafe4a6a8061338db0f74e25b7952620) |
![{\displaystyle \mathbf {n} ^{{\text{sym}}\otimes 2}\oplus {\bar {\mathbf {n} }}^{\wedge 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1100051bf4559a852173cbf94cb1345bd16a4d8e) |
|
예외 |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c7bead1ceabbe45066fb41c1ba618a886d64bc) |
![{\displaystyle \alpha \neq 0,-1,+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc77d3cb0eb808b2afe774276bfb6f64dfd22b8b) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de7941b3a85a30ba494f00a26739c1faee725ce) |
9 |
![{\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29979be5f5275add6efe691cc9d429e8ed1a446) |
8
|
예외 |
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(3|1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489c26faa6d87f257675d3d1808b331c63b7e06f) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {o}}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074a438188f2948e5d4eb05e5571c4c5a1f1dc99) |
24 |
![{\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {8} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02bd5d065deaec42a584e302e94bd9444233bc3) |
16
|
예외 |
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bed51cb2265164cc4a4851b5ab06a7a15b33fd) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {g}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba069acad879371b2daddc0380d959c3a030f25) |
17 |
![{\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {7} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598ae443119df56b27878f6076456e3286bef5db) |
14
|
카르탕형 |
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816fd0bc221101f2edd94ad9268a8c3565642c36) |
![{\displaystyle n\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bf67f9d06ca3af619657f8d20ee1322da77174) |
(복잡함) |
![{\displaystyle n2^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5711b21a74931640f560cc88d6dcad21da7bbcc8) |
(복잡함) |
|
카르탕형 특수 |
![{\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa87fff473d22507f405c59f9e3c693ad9f02383) |
![{\displaystyle n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73136e4a27fe39c123d16a7808e76d3162ce42bb) |
(복집함) |
![{\displaystyle (n-1)2^{n-1}+(n-2\lfloor n/2\rfloor )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36d9495049e79667e39d37afcbf42f77e356d9e) |
(복잡함) |
|
카르탕형 특수 |
![{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {s}}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab6d7d5db5ff50385edf8d96540d039aa0fed84) |
![{\displaystyle 2\mid n\geq 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4375976117ee48c9dafeace4a419b65dd27a9f8b) |
(복잡함) |
![{\displaystyle (n-1)2^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899f6dfe41696a1450b872af1648378218e9ff29) |
(복잡함) |
|
해밀턴형 |
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4c957b246ec2740fac42decfe8d4208455cf33) |
![{\displaystyle n\geq 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25010fec4b0f68f1b46f49d14917d962acca0b16) |
(복잡함) |
![{\displaystyle 2^{n-1}-2+(n-2\lfloor n/2\rfloor )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee6690d1124cafe976d27067f3a1ac10ca13f7f) |
(복잡함) |
|
위 표에서
는
의 대칭 성분이고,
는
의 반대칭 성분이다.
이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2|1)={\mathfrak {osp}}(2|2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada74ebab13640376e37d835036df55a62a2f1a0)
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;1)={\mathfrak {osp}}(4|2;-2)={\mathfrak {osp}}(4|2;-1/2)={\mathfrak {osp}}(4|2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad849c33b51347dfe3f0bf768eba10f22aa10a26)
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )={\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha ^{-1})={\mathfrak {osp}}(4|2;-\alpha -1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ae7f0bdcd4a050394aadcf8c3e18728a24874b)
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}(2)={\mathfrak {sl}}(2|1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dc03c5da499c5b0c7a1932b1bfa292992b79ff)
![{\displaystyle {\mathfrak {s}}(3)={\mathfrak {p}}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a6a62a3e4b2f6eb0b6eba9be9daf09a509ac47)
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}(4)={\mathfrak {sl}}(2|2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456f43779932ceb6cf8e6e732f0b83a8dd2b8bcd)
이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.
실수체 위의 고전 단순 리 초대수[편집]
실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.[1]:59, Theorem 9, §3[2]
복소화 |
실수 형태 |
조건 |
보손 부분 대수
|
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1508bcd6caba4df41a70fc111c0135282e7bf6b) |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998a1c88e7099a94df2404aa0bce584f493e30f6) |
![{\displaystyle m\neq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50a2eaa8dcad2a8e19c9fd861a0fdd641bdfa46) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(m|n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8371f3fc5495c85b4584a55de5b9a222365daeee) |
, ![{\displaystyle 2\mid m,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee03873da8c7edac06c4ea744bab36963d48696d) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(m-p,p|n-q,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894848a1c504f473e817e85d1ec5ffb88159106d) |
, , ![{\displaystyle 0<q<n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec454e631e6ba02a74dd2fb395c4eace0b92486d) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab947456ab5db66f850101e7d52baba49bde5de2) |
![{\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadcd910773057c7cf7070520c88a01f265a09d2) |
|
|
![{\displaystyle {\mathfrak {psu}}^{*}(m|m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ae1542670aa53b9dc7a47b4976a803c8435709) |
![{\displaystyle 2\mid m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a0b5bd87082d5126ea91888730502c6eb113f4) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(m-p,p|m-q,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e029bf5fbd3985d64369a1072697b79fa73e56) |
![{\displaystyle 0<p,q<m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d7b15e3219f371e1967b7b281d1ef61acdd279) |
|
(이름 없음) |
|
|
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e865da9400201fc061d76e8b1cafcadb7dfe6a) |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m-p,p|2n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a1ba38bed5a697a9f5cda3c22cdf1458b3c82b) |
![{\displaystyle 0\leq p\leq m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41440a0eae356f527d5144f3f2a303b315037e43) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(m|2n-2q,2q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899f6bf6ae8c9d28a20f81735732f621d91dcf2e) |
![{\displaystyle 2\mid m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a0b5bd87082d5126ea91888730502c6eb113f4) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c7bead1ceabbe45066fb41c1ba618a886d64bc) |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4-p,p|2;\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2df9e440d88cdf836f1717b9f0747f7bfaa96fb) |
![{\displaystyle p\in \{0,1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79651bfa560ecc24e5f5a8c5bcb9353cd9e9b81) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f88c904bb4840f46fb476157ab0a9007528e29) |
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(7-p,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6089ea3c3022d7b9a2c118de5f386ac64ead44) |
![{\displaystyle p\in \{0,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5eab34401df1cd048fd2efa3e6af26424c3d23) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(7-p,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6089ea3c3022d7b9a2c118de5f386ac64ead44) |
![{\displaystyle p\in \{1,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310c8964630e89e7832e8b357c94322b94b7e9b9) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bed51cb2265164cc4a4851b5ab06a7a15b33fd) |
(이름 없음) |
|
|
(이름 없음) |
|
|
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b639ea11fe6cb23c46bb8e6254b5bf59be45c7e4) |
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}^{*}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5135895caccbd7a2a2251aa6f344fa7474ac92) |
![{\displaystyle 2\mid n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61398bc4a11cecdffcf49d7ebbadf66cb0df238f) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}(n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aad0222db42e4a87587802b9182b282fa9c2e27) |
|
|
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a8d851f0ab1ed956cfe9061477ddcdd3371475) |
![{\displaystyle {\mathfrak {uq}}(n-p,p;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868f8b36954041fc9d3589cf5f0e748caeda4bba) |
![{\displaystyle 0\leq p\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f879094a95f838e15cd4d142b91cc7ad2d7c492b) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}^{*}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffc80ba2a408a58670e0f5f42580fcd9e281042) |
![{\displaystyle 2\mid n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61398bc4a11cecdffcf49d7ebbadf66cb0df238f) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3ace35e48aadd591a83d244dcb0545e3f8991a) |
|
|
일반·특수 선형 초대수[편집]
초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e11c7395f67ee34caefeb9e3ac42f0da94a97c)
여기서
는
이고,
는
이다.
초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, 영어: general linear Lie superalgebra)
이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.[3]:§25
![{\displaystyle \operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97338fd4c264185aa119831bb4100a0cc82c6a0)
특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, 영어: special lienar Lie superalgebra)
는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.[3]:§25
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon \operatorname {str} (m|n)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5b716e1d3d8cee7aeb4c68b0c3e83470635987)
단위 행렬
의 경우
이므로,
일 필요 충분 조건은
이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, 영어: projective special linear Lie superalgebra)
는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.
![{\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)=\left\{[M]_{\sim }\colon M\in {\mathfrak {sl}}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fa3f5ce42a966e0f040498c835f323ff2aac64)
직교-심플렉틱 초대수[편집]
직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, 영어: orthosymplectic Lie superalgebra)
는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.[3]:§25
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon A^{\top }=-A,\;D^{\top }\Omega =-\Omega D,\;B=C^{\top }\Omega \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7179b939a98c50c3f8783cbde7d3d73a57bc00cd)
여기서
![{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98db8fde816dbfeed00aa06435ab97b3c53f0ffb)
이다.
페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수[편집]
페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, 영어: periplectic Lie superalgebra)
는 다음과 같다.[3]:§25[4]:9, (1.14)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A^{\top }=-D,\;B^{\top }=B,\;C^{\top }=-C,\;\operatorname {tr} A=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f814fc728cd39467fd14a48a0458ec79aca4a482)
를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {q}}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname {tr} B=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc3739f50dfdcf98290a2f0583a02e0d7b6e344)
이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, 영어: queer Lie superalgebra)
이라고 한다.[3]:§25
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)=\{[M]_{\sim }\colon M\in {\tilde {\mathfrak {q}}}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2c7406e4fe5ae37dd6a36d89a3c7ae89205ead)
𝔬𝔰𝔭(4|2;α)[편집]
또는
는 구체적으로 다음과 같다.[3]:§20 이 리 초대수의 보손 리 대수는
이며, 이에 대한 페르미온 표현은
이다. 이에 따라, 지표
(
의 정의 표현의 지표)
(
지표)
(
의 정의 표현의 지표)
를 사용하면, 보손 생성원
및 페르미온 생성원
에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.
![{\displaystyle [t_{i}^{a},t_{j}^{b}]=\mathrm {i} \delta ^{ab}\epsilon _{ijk}t_{k}^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a43b726fca47ec692c365d295e3a7747c67ad4)
![{\displaystyle [t_{i}^{a},F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}]={\frac {1}{2}}\sigma _{\alpha _{a}'\alpha _{a}}^{i}F_{\alpha _{1}\dotso \alpha _{a}'\dotso \alpha _{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd3918fcb4f8c203dda9491f9c81561ed2dd5ad)
![{\displaystyle \{F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}},F_{\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}}\}=\sum _{a=1}^{3}s_{a}(C\sigma ^{i})_{\alpha _{a}\beta _{a}}C_{\alpha _{a+1}\beta _{a+1}}C_{\alpha _{a+2}\beta _{a+2}}t_{i}^{a}\qquad (s_{1},s_{2},s_{3}\in \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf2b258d0511c5d3a3c014e79e93ae5c98b2774)
이다. 여기서
는 파울리 행렬이며,
![{\displaystyle C=\mathrm {i} \sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fde321d657e726a7116f51af9097ecaac84966)
는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.
페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수
는 야코비 항등식에 의하여
![{\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b852a4b7c0b0fc9420328d47c41b0488f4e97cad)
을 만족시켜야 하며, 또한
![{\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3})\sim (s_{\sigma (1)},s_{\sigma (2)},s_{\sigma (3)})\sim (\lambda s_{1},\lambda s_{2},\lambda s_{3})\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\sigma \in \operatorname {Sym} (3))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdd8f9a196f80642450d83af35f20a4f947d1a8)
이다. 즉,
은 3차원 복소수 사영 평면
의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은
![{\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b852a4b7c0b0fc9420328d47c41b0488f4e97cad)
으로 정의되는 사영 직선의
에 대한 몫 오비폴드이다.
이에 따라,
![{\displaystyle \alpha =s_{2}/s_{1}\in \mathbb {CP} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc213f313e244659157aaced86da7186c688877)
로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군
의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle \alpha \sim \alpha ^{-1}\sim -(\alpha +1)\sim -{\frac {1}{\alpha +1}}\sim -{\frac {\alpha }{\alpha +1}}\sim -1-{\frac {1}{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e24edcd5f159b0857210850b15cb7d788af352a)
이 경우,
인 점은
에 해당한다.
실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.[2]:694–695, §5B
보손 리 대수 |
대칭 |
의 조건 |
의 동치 관계 |
의 표준 영역
|
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{\oplus 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f59ca69fc2b2266e71a3c8c6e752dcfe02ac240) |
![{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46a99e47b506372503698f4f7a11623ce954cbe) |
![{\displaystyle \alpha \in \mathbb {RP} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f575ec53e349385f8e2c0404f798da4bd94512) |
![{\displaystyle \alpha \sim 1/\alpha \sim -1-\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421b2d63eb28687fadb00dfe42ccffb0f9308eeb) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e45bf62b1fc153b3676457eb143a47c5716183) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle \alpha \in -1/2+\mathrm {i} \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbed7bcc4ea90c9bd7d525bfd287913e870f3628) |
(없음) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(4;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2\mathbb {R} )^{\oplus 2}\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccae709fb94378afb7795035e5dab7ea73b35c5) |
![{\displaystyle \operatorname {Sym} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d239c015d836985b83a0806d20732806a2c0a9) |
![{\displaystyle \alpha \in \mathbb {RP} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f575ec53e349385f8e2c0404f798da4bd94512) |
![{\displaystyle \alpha \mapsto 1/\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b2265355918b0aab8b3edda81af189fb31eb65) |
|
이 경우, 복소수 계수
의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그
대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한
의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.
카르탕형 리 초대수[편집]
체
위의 벡터 공간
위의 외대수
위의
-등급 미분들, 즉
-선형 변환
![{\displaystyle d\colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd98278a270e0cb7c3ad4a85830835cfe3d21b17)
가운데
![{\displaystyle d(a\vee b)=(da)\wedge b+(-)^{\deg a}a\wedge db\qquad \left(b\in \bigwedge (V),\;a\in \bigwedge _{2\bullet +1}(V)\cup \bigwedge _{2\bullet }(V)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9dcb5d09ec7a4747bf1c94cc3f7dbd72ec2233)
를 만족시키는 것들의 벡터 공간을
라고 하자.
의 기저
를 잡았을 때,
는 다음과 같이 표현될 수 있다.
![{\displaystyle d=\sum _{i\in I}a_{i}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\qquad \left(a_{i}\in \bigwedge (V)\;\forall i\in I\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a224225cb9d30ac7ba315e434398f860e8853c)
의
-등급으로부터, 이는
위에
-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히
![{\displaystyle [d,d']=d\circ d'\pm d'\circ d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a8339d288b2a5f80a480ca37e22c63c7f1f046)
이며, 여기서 ± 부호는
등급에 의하여 결정된다.
만약
가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를
로 표기한다.
특수 카르탕형 리 초대수(영어: special Cartan-type Lie superalgebra)
과
및 해밀턴형 리 초대수(영어: Hamilton-type Lie superalgebra)
은 모두
의 부분 리 초대수이다.
단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.[5][1][6]
외부 링크[편집]