오비폴드

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기하학에서, 오비폴드(영어: orbifold)는 국소적으로 유한군의 선형작용에 대한 유클리드 공간몫공간동형위상 공간이다. 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 특정한 형태의 특이점을 가질 수 있다.

정의[편집]

n차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. 하우스도르프 공간 X와 그 열린 덮개 U_i를 생각하자. (\{U_i\}는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.)

U_i에 대하여, 연속 함수 \phi_i\colon U_i\to V_i를 가정하자. 여기서 V_i\mathbb R^n의 부분집합으로, 유한군 \Gamma_i의 선형작용에 대하여 불변하다. \phi_iU_i\to V_i/\Gamma_i위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 오비폴드 국소 좌표계라고 부른다.

일련의 오비폴드 국소 좌표계 (U_i,V_i,\Gamma_i,\phi_i)의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 오비폴드 좌표근방계(orbifold atlas)를 이룬다.

  • U_i\subset U_j면 단사 준동형 사상 \Gamma_i\to\Gamma_j가 존재한다.
  • U_i\subset U_j\Gamma_i에 대하여 \Gamma_i-위상 동형 사상 \psi_{ij}\colon V_i\to W_j\subset V_j이 존재한다. (W_jV_j의 열린 부분 집합)
  • \phi_j\circ\psi_{ij}=\phi_i
  • 다른 모든 추이 사상V_i\to V_jg\psi_{ij}의 꼴이다 (여기서 g\in\Gamma_j).

G이산군이라고 하고, M매끄럽고 충실한 작용 G\times M\to M이 주어진 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 몫공간

M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M)

은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 축소 오비폴드(영어: reduced orbifold)라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 (유클리드 공간의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. 끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, 유클리드 공간의 몫공간 \mathbb R^n/\Gamma 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.

위상수학적 성질[편집]

오비폴드의 경우, 문헌에는 두 가지의 "오비폴드 오일러 지표"에 대한 정의가 등장하며, 이 둘은 관계없는 개념이다. 이 밖에도, 오비폴드의 호모토피 군 역시 정의할 수 있다. 이들은 오비폴드를 단순히 위상 공간으로 여겨 정의한 오일러 지표호모토피 군과 다르다.

사타케-서스턴 오일러 지표[편집]

오비폴드 X세포 복합체의 구조를 주고, 각 세포 c내부가 국소적 군 \Gamma_i의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 X(사타케-서스턴) 오일러 지표는 다음과 같다.

\chi(X)=\sum_c\frac{(-1)^{\dim c}}{|\Gamma(c)|}

만약 모든 \Gamma(c)자명군이라면, 이는 일반적인 오일러 지표와 같다. 이 정의는 사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎 (さたけ いちろう))와 윌리엄 서스턴이 사용하였다.[1]

오비폴드의 사타케-서스턴 오일러 지표에 대하여 가우스-보네 정리가 성립한다.

끈 오일러 지표와 천-롼 코호몰로지[편집]

오비폴드 M/G가, 매끄러운 다양체 M 위의 어떤 이산군 G매끄럽고 충실한 작용에 의한 몫공간이라고 하자. 이 경우, M/G(끈 이론) 오일러 지표는 다음과 같다.[2]:§6, Definition 6.1

\chi(M/G)=\frac1{|G|}\sum_{g,h\in G,\;gh=hg}\chi(M^{\langle g,h\rangle}
=\sum_{[g]\in\operatorname{Cl}G}\chi(M^{\langle g\rangle}/Z_G(g))

여기서

이 정의는 랜스 딕슨(영어: Lance J. Dixon), 제프리 하비(영어: Jeffrey A. Harvey), 캄란 바파, 에드워드 위튼끈 이론을 다루기 위하여 도입하였다.[3][4]

딕슨-하비-바파-위튼 오일러 지표는 천-롼 코호몰로지(영어: Chen–Ruan cohomology)와 관계있다. 이는 오비폴드에 대한 양자 코호몰로지이다.[5][6][7][8]

기본군[편집]

오비폴드 X기본군 \pi_1^{\text{orb}}(X)X보편피복공간 \tilde X의 피복 변환(영어: deck transformation)들의 군이다.[1]:307, Definition 13.2.5 이 정의는 윌리엄 서스턴이 도입하였다.

[편집]

모든 매끄러운 다양체는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, 경계를 갖는 매끄러운 다양체(영어: manifold with boundary) 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계를 갖는 다양체 M이 주어지면, 그 이중 덮개(영어: double)를 다음과 같이 정의하자.

D(M)=M\times\{0,1\}/((x,0)\sim(x,1)\forall x\in\partial M)

즉, M의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. M의 이중덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, M은 다음과 같은 몫공간으로 나타낼 수 있다.

M=D(M)/\mathbb Z_2

1차원 오비폴드[편집]

1차원 연결 콤팩트 오비폴드는 S^1과 선분 [0,1]밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 경계를 갖는 다양체이자, 원

S^1\cong\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

몫공간

\operatorname U(1)/(z\sim\bar z)

으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다.

2차원 오비폴드[편집]

2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 O(2)의 유한 부분군에 따라서 분류되며, 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다.

  • 경계선 \mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(2), z\sim \bar z.
  • m=2,3,4,\dots에 대하여, m차 원뿔형 꼭짓점 \mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(m), z\sim\exp(2\pi i/m)z
  • n=2,3,4,\dots에 대하여, 각도 \pi/n의 꼭짓점 \mathbb R/\operatorname{Dih}(n), z\sim\bar z\sim
\exp(2\pi i/n) z

이 경우, 2차원 오비폴드 X의 사타케-서스턴 오일러 지표는 다음과 같다.

\chi(X)=\chi(|X|)-\sum_{m_i}(1-1/m_i)-\frac12\sum_{n_i}(1-1/n_i)

여기서

  • \chi(|X|)X위상 공간으로서의 오일러 지표이다.
  • 첫 번째 합 \sum_{m_i}는 원뿔형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 m_i는 꼭짓점의 차수이다.
  • 두 번째 합 \sum_{n_i}는 다각형형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 n_i는 꼭짓점의 차수이다.

2차원 연결 콤팩트 오비폴드는 곡면과 마찬가지로 오일러 지표의 부호에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

  • 오일러 지표가 음수인 2차원 오비폴드는 쌍곡선형 오비폴드(영어: hyperbolic-type orbifold)라고 한다. 이들은 쌍곡평면쪽매맞춤에 대응하며, 무한 개가 있다.
  • 오일러 지표가 0인 2차원 오비폴드는 포물선형 오비폴드(영어: parabolic-type orbifold)라고 한다. 이들은 유클리드 평면의 쪽매맞춤에 대응한다. 총 17개가 있다.
  • 오일러 지표가 양수인 2차원 오비폴드 가운데, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있는 것들은 타원형 오비폴드(영어: elliptic-type orbifold)라고 한다. 이들은 쪽매맞춤에 대응한다. 7개의 무한한 족 및 족에 속하지 않는 10개가 있다.
  • 오일러 지표가 양수이며, 축소 오비폴드가 아닌 것들은 나쁜 오비폴드(영어: bad orbifold)라고 한다. 4개의 무한한 족들로 분류된다.

쌍곡선형이 아닌 2차원 연결 콤팩트 오비폴드들의 목록은 다음과 같다. (여기서 "오일러 지표"는 사타케-서스턴 오일러 지표를 말한다.)

종류 오일러 지표 다양체 원뿔 꼭짓점의 차수 다각형 꼭짓점의 차수
나쁜 1 + 1/n n > 1
1/m + 1/n n > m > 1
1/2 + 1/2n 원판 n > 1
1/2m + 1/2n 원판 n > m > 1
타원형 2
2/n n,n
1/n 2, 2, n
1/6 2, 3, 3
1/12 2, 3, 4
1/30 2, 3, 5
1 원판
1/n 원판 n, n
1/2n 원판 2, 2, n
1/12 원판 2, 3, 3
1/24 원판 2, 3, 4
1/60 원판 2, 3, 5
1/n 원판 n
1/2n 원판 2 n
1/12 원판 3 2
1 사영 평면
1/n 사영 평면 n
포물선형 0 2, 3, 6
0 2, 4, 4
0 3, 3, 3
0 2, 2, 2, 2
0 원판 2, 3, 6
0 원판 2, 4, 4
0 원판 3, 3, 3
0 원판 2, 2, 2, 2
0 원판 2 2, 2
0 원판 3 3
0 원판 4 2
0 원판 2, 2
0 사영 평면 2, 2
0 원환면
0 클라인 병
0 원환
0 뫼비우스 띠

역사[편집]

사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎 (さたけ いちろう))가 1956년에 ‘V-다양체’(영어: V-manifold)라는 이름으로 정의하였다.[9] 윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’(영어: orbifold)라는 이름을 붙였다.[1]

‘오비폴드’(영어: orbifold)라는 이름은 영어: orbit 오빗[*] (궤도)과 영어: manifold 매니폴드[*] (다양체)를 합친 혼성어이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다.

이 용어를 고른 건 제 탓이 아니고, 1967년~1977년 가르친 강의 도중 민주적인 방법으로 정한 것입니다. 오비폴드는 여러 번(영어: many 메니[*]) 접힌(영어: fold 폴드[*]) 것이죠. 하지만 영어: manifold 매니폴드[*](다양체)는 이미 다른 뜻을 가지고 있습니다. 대신 영어: foldamani 폴더매니[*]를 시도해 봤지만, 이 용어는 곧 영어: manifolded 매니폴디드[*]로 대체되었습니다. 그러나 두 달 동안 계속 “아니, 매니폴드가 아니라 매니폴디드”라고 하는 게 지겨워, 결국 투표를 했고, "오비폴드"가 당선되었더라구요.

This terminology should not be blamed on me. It was obtained by a democratic process in my course of 1976–77. An orbifold is something with many folds; unfortunately, the word “manifold” already has a different definition. I tried “foldamani”, which was quickly displaced by the suggestion of “manifolded”. After two months of patiently saying “no, not a manifold, a manifoldead,” we held a vote, and “orbifold” won.

 
[1]:300

참고 문헌[편집]

  1. Thurston, William (1980). “The geometry and topology of three-manifolds”. (강의 노트). Princeton University. 
  2. Adem, Alejandro; Klaus, Michele (2010). L.Ji, S.-T. Yau, 편집. 《Transformation Groups and Moduli Spaces of Curves》 (영어). Advanced Lectures in Mathematics 16. Higher Education Press. 1–17쪽. 
  3. Dixon, L.; Harvey, J.A.; Vafa, C.; Witten, E.. “Strings on orbifolds” (영어). 《Nuclear Physics B》. Bibcode:1985NuPhB.261..678D. doi:10.1016/0550-3213(85)90593-0. ISSN 0550-3213. 
  4. Dixon, L.; Harvey, J.A.; Vafa, C.; Witten, E.. “Strings on orbifolds (II)” (영어). 《Nuclear Physics B》. Bibcode:1986NuPhB.274..285D. doi:10.1016/0550-3213(86)90287-7. ISSN 0550-3213. 
  5. Chen, Weimin; Ruan, Yongbin (2004년 6월). “A new cohomology theory of orbifold” (영어). 《Communications in Mathematical Physics》 248 (1): 1-31. arXiv:math/0004129. doi:10.1007/s00220-004-1089-4. ISSN 0010-3616. 
  6. Abramovich, Dan. “Lectures on Gromov-Witten invariants of orbifolds” (영어). arXiv:math/0512372. 
  7. Adem, Alejandro; Johann Leida, Yongbin Ruan (2007). 《Orbifolds and stringy topology》 (영어). Cambridge Tracts in Mathematics 171. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511543081. ISBN 978-0-52187004-7. MR 2359514. 
  8. Ruan, Yongbin (2000). “Stringy geometry and topology of orbifolds” (영어). arXiv:math/0011149. Bibcode:2000math.....11149R. 
  9. Satake, Ichiro (1956년 6월 1일). “On a generalization of the notion of manifold”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 42 (6): 359–363. doi:10.1073/pnas.42.6.359. ISSN 0027-8424. MR 0079769. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]