켤레류

군론에서 켤레류(-類, 영어: conjugacy class)는 켤레 원소를 취하는 군의 작용의 궤도이다.

정의

군 $G$의 원소 $g\in G$의 켤레류는 다음과 같다.^:196

$\operatorname {Cl} (g)=\{hgh^{-1}\colon h\in G\}\subseteq G$

즉, 이는 $G$의 자기 자신 위의 켤레 작용

$G\times G\to G$

$(h,g)\mapsto hgh^{-1}$

의 궤도이다. 즉 $G$ 위의 켤레 관계

$g\sim g'\iff \exists h\in G\colon g'=hgh^{-1}$

의 동치류이다. $G$의 모든 켤레류들의 집합을 $\operatorname {Cl} (G)$로 표기하자.

만약 $G$가 위상군이라면, $\operatorname {Cl} (G)$는 그 몫공간이므로 자연스러운 위상 공간 구조를 가진다.

성질

켤레류의 크기

유한군 $G$의 원소 $g\in G$의 켤레류의 집합의 크기는 궤도-안정자군 정리에 따라 다음과 같다.

$|{\operatorname {Cl} }(g)|={\frac {|G|}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}$

여기서 $\operatorname {C} _{G}(-)$는 중심화 부분군이다.

켤레류의 수

유한군 $G$의 켤레류의 수는 번사이드 보조정리에 따라 다음과 같다.

$|{\operatorname {Cl} }(G)|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\operatorname {C} }_{G}(g)|$

여기서 $\operatorname {C} _{G}(-)$는 중심화 부분군이다.

켤레류 방정식

유한군 $G$의 켤레류들은 $G$의 분할을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(-類方程式, 영어: class equation)이라고 한다.

$|G|=\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}|{\operatorname {Cl} }(g)|=|G|\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}=|{\operatorname {Z} }(G)|+|G|\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)\setminus \{\{c\}\colon c\in \operatorname {Z} (G)\}}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}$

여기서 $\operatorname {C} _{G}(-)$는 중심화 부분군이며, $\operatorname {Z} (-)$는 군의 중심이다.

특히,

$1=\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}$

이므로, 이는 1의 이집트 분수 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, 아벨 군의 경우 이러한 이집트 분수 분해는

$1=\underbrace {{\frac {1}{|G|}}+{\frac {1}{|G|}}+\dotsb +{\frac {1}{|G|}}} _{|G|}$

이다.

콤팩트 리 군

$G$가 콤팩트 리 군이라고 하자. 이 경우, $G$는 항상 극대 원환면 $T\leq G$을 가지며, 모든 원소 $g\in G$는 $T$의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 $g\in G$의 켤레류와 $T$의 교집합은 $T$의 어떤 원소 $t\in T$의 바일 군 궤도와 같다.

$\forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname {Cl} (g)\cap T=\operatorname {Weyl} (T,G)\cdot t$

다시 말해, $G$의 켤레류들의 공간은 몫공간인 오비폴드

$\operatorname {Cl} (G)\cong T/\operatorname {Weyl} (T,G)$

와 표준적인 일대일 대응을 갖는다.

특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수의 바일 군 궤도, 즉 바일 방의 원소가 된다.

예

아벨 군

아벨 군 $G$의 경우, 켤레류는 (자명하게) 한원소 집합이며, 따라서

$\operatorname {Cl} (G)\cong G$

이다.

대칭군

$n$차 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자.

$(a_{1,1}\dotsm a_{1,n_{1}})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_{2}})\dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_{k}})$

즉,

• $k$개의 순환이 존재한다.
• 각 순환의 길이는 $n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}$이다. 편의상 $1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \dotsc \leq n_{k}$이며 $\textstyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}=n$이라고 하자. 즉, $(n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k})$는 $n$의 자연수 분할을 이룬다.

그렇다면, 대칭군의 두 원소 $g$, $h$에 대하여, 만약

$k(g)=k(h)$

$n_{i}(g)=n_{i}(h)\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,k(g)\}$

일 경우, 두 원소가 같은 순환형(영어: cycle type)이라고 하자.

그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 필요 충분 조건은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} (\operatorname {Sym} (n))\cong \operatorname {Part} (n)$

여기서 우변은 $n$의 자연수 분할들의 집합이다.

자연수 분할 $(n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k})$이 주어졌을 때,

$a(p)=|\{i\in \{1,\dotsc ,k\}\colon p=n_{i}\}|\in \mathbb {N}$

를 정의하자. 그렇다면, 이 자연수 분할에 대응하는 켤레류의 크기는

${\frac {n!}{\prod _{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}}}$

이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 중심화 부분군의 크기는

$\prod _{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}$

이다.

SU(2)

리 군 $\operatorname {SU} (2)$를 생각하자. 기하학적으로, 이는 3차원 초구 $\mathbb {S} ^{3}$와 미분 동형이다. 이 경우, 극대 원환면은 (1차원) 원군 $T=\operatorname {U} (1)$이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군

$T=\left\{{\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}\colon \theta \in \mathbb {R} \right\}\leq \left\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )\colon \det M=1,\;M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\right\}=\operatorname {SU} (2)$

으로 여길 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 대칭군이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다.

$\theta \mapsto -\theta$

즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 반원 $\theta \in [0,\pi ]$에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 대각합과 행렬식은 유함수이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 상수 함수 1이지만, 그 대각합은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉,

$\operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}=2\cos \theta$

이므로, 대각합의 값은 $[-2,+2]$의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘위도’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 $\pm 2$가 되는 경우, 즉 $\theta \in \{0,\pi \}$인 경우이며, 이 경우 켤레류는 한원소 집합 $\{\pm 1_{2\times 2}\}$이다.

작은 수의 켤레류를 갖는 유한군

켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.^{:Table 1}

켤레류의 수	군	이집트 분수 분해
1	자명군 $1$	${\tfrac {1}{1}}$
2	2차 대칭군 $\operatorname {Sym} (2)$	${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}$
3	3차 교대군	${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}$
	3차 대칭군 $\operatorname {Sym} (3)$	${\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}$
4	4차 교대군 $\operatorname {Alt} (4)$	${\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}$
	5차 정이면체군 $\operatorname {Dih} (5)$	${\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{2}}$
	4차 순환군 $\operatorname {Cyc} (4)$	${\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}$
	클라인 4원군 $\operatorname {Cyc} (2)^{2}$
5	5차 순환군 $\operatorname {Cyc} (5)$	${\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}$
	4차 정이면체군 $\operatorname {Dih} (4)$	${\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}$
	사원수군 $Q_{8}$
	5차 교대군 $\operatorname {Alt} (5)$	${\tfrac {1}{60}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}$
	4차 대칭군 $\operatorname {Sym} (4)$	${\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}$
	7차 정이면체군 $\operatorname {Dih} (7)$	${\tfrac {1}{14}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{2}}$
	프로베니우스 군 $\operatorname {Cyc} (5)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)$	${\tfrac {1}{20}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}$
	프로베니우스 군 $\operatorname {Cyc} (7)\rtimes \operatorname {Cyc} (3)$	${\tfrac {1}{21}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}$

정확히 $n$개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A73043)

1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …

외부 링크

• “Conjugate elements”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Conjugacy class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Number of conjugacy classes”. 《Groupprops》 (영어).