번사이드 보조정리

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군론에서, 번사이드 보조정리(영어: Burnside lemma)는 군의 작용에서 궤도의 수를 세는 정리다.

정의[편집]

유한군 가 집합 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 각 에 대하여,

의 고정점의 집합이라고 하자. 또한,

가 모든 궤도의 집합이라고 하자. 번사이드 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.

증명[편집]

다음과 같이 증명할 수 있다.

(여기서 안정자군이다.)
(궤도-안정자군 정리)
(에 대한 분할을 이룬다.)

역사[편집]

이 보조정리는 이미 오귀스탱 루이 코시에게 1845년 알려져 있었다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1887년 쓴 논문에도 수록되어 있다.[1] 윌리엄 번사이드가 1897년 쓴 책에 프로베니우스를 인용하였고, 이 보조정리의 증명을 수록하였다.[2] 번사이드는 군론에서 수많은 보조정리들을 증명하였는데, "번사이드 보조정리"는 번사이드가 증명하지 않은 몇 안되는 보조정리 가운데 하나이다. 혹자는 이 보조정리를 "번사이드가 증명하지 않은 보조정리"라고 부르기도 한다.[3]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Frobenius, Ferdinand Georg (1887). “Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1887 (101): 273–299. doi:10.1515/crll.1887.101.273. ISSN 0075-4102. 
  2. Burnside, William (1897). 《Theory of groups of finite order》 (영어). Cambridge University Press. 
  3. Neumann, Peter M. (1979). “A lemma that is not Burnside’s”. 《The Mathematical Scientist》 4 (2): 133–141. ISSN 0312-3685. MR 562002. 

외부 링크[편집]