교대군

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군론에서, 교대군(交代群, 영어: alternating group)은 유한집합의 원소들에 대한 우순열(짝치환, even permutation)의 집합으로 이루어진 유한군이다. 개의 원소에 대한 교대군의 기호는 이나 이다.

정의[편집]

순환군 Sn의 각 원소들은 치환의 홀짝성(영어: parity)에 따라 두 부류로 나뉜다. 홀짝성 함수는 군 준동형

을 이룬다. 교대군 은 이 준동형사상의 이다.

즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

성질[편집]

인 교대군 개의 원소를 가지며, 인 경우 교대군은 자명군이다. 인 교대군 은 대칭군 교환자 부분군이다.

교대군이 아벨 군필요충분조건이다. 단순군일 필요충분조건은 이거나 이다.

클라인 4원군정규부분군으로 가진다.

낮은 차수의 교대군[편집]

낮은 차수의 교대군은 다른 군들의 족과 동형인데, 다음과 같다.

교대군 다른 이름
A0, A1, A2 1 (자명군)
A3 (순환군)
A4
A5
A6
A8

바깥 고리[편집]