교환자 부분군

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군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.

정의[편집]

G교환자 부분군 G^{(1)}은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

[g_1,h_1][g_2,h_2][g_3,h_3]\dots[g_n,h_n]\in G^{(1)}\subset G
g_1,g_2,\dots,g_n,h_1,h_2,\dots,h_n\in G

여기서

[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

유도열[편집]

Gn차 유도 부분군(n次誘導部分群, 영어: nth derived subgroup) G^{(n)}은 다음과 같이 정의된다.

G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}

즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.

G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright\cdots

이를 유도열(誘導列, 영어: derived series)이라고 한다.

유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.

이를 초한 유도열(超限誘導列, 영어: transfinite derived series)이라고 한다.

유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다.

  • 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다.
  • 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다.
  • 어떤 자연수 n\in\mathbb N에 대하여 G^{(n)}=1인 군 G가해군이라고 한다.
  • 어떤 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}에 대하여 G^{(\alpha)}=1인 군 G준 아벨 군(영어: hypo-Abelian group)이라고 한다.

정의에 따라

아벨 군가해군 ⊊ 준 아벨 군

임을 알 수 있다.

아벨화[편집]

G가 주어졌을 때, 교환자 부분군 G^{(1)}은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군

G^{\operatorname{ab}}=G/G^{(1)}

아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 영어: abelianization)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주 \operatorname{Grp}에서 아벨 군군 준동형의 범주 \operatorname{Ab}로 가는 함자를 이룬다.

(-)^{\operatorname{ab}}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Ab}

아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자

I\colon\operatorname{Ab}\to\operatorname{Grp}

가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.

(-)^{\operatorname{ab}}\dashv I

호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지

G^{\operatorname{ab}}=\operatorname H_1(G;\mathbb Z)

와 같다.

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일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.

G G(1)
대칭군 S_n 교대군 A_n\subset S_n
교대군 A_4 클라인 4원군 (\mathbb Z/2)^2
사원수군 Q \operatorname Z(Q)=\{\pm1\}\cong\mathbb Z/2
크기 8의 정이면체군 \operatorname{Dih}_4 \operatorname Z(\operatorname{Dih}_4)\cong \mathbb Z/2

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 X기본군 \pi_1(X)의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 \operatorname H_1(X;\mathbb Z)이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형이다.

참고 문헌[편집]

  • Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  • Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

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같이 보기[편집]