교환자

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교환자(交換子, 영어: commutator)란 수학에서 어떤 이항연산에 대해 교환법칙이 성립하는지를 알려주는 연산자이다. 환론군론에서 정의가 다르다.

환론[편집]

또는 결합적 대수의 두 원소 에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.

이 값이 0이면 두 원소 에 대한 교환법칙이 성립한다. 선형대수학에서는 어떤 공간자기준동형사상이 한 기저에 관한 교환법칙이 성립하는 행렬들로 표현이 가능하면, 그 행렬들은 모든 기저에 의해 표현된다.

교환자를 리 괄호로 쓰면, 모든 결합적 대수는 리 대수로 바뀌게 된다.

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 하이젠베르크불확정성원리는 이런 교환자에 대한 성질을 설명하는 원리이다.

성질[편집]

환론에서의 교환자는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

리 대수 관계

두 번째 관계는 반대칭성이라고 불리고, 세 번째 관계는 야코비 항등식이라고도 불린다.

다른 관계들

만약 가 환 에서의 고정된 원소이면, 첫 번째 관계는 에 의해 주어진 사상 에 대한 일종의 라이프니츠 규칙이 된다. 다시 말하면, 사상 는 환 에서의 미분을 정의한다.

또한 다음과 같은 교환자에 대한 항등식이 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특별한 경우로 가끔 유용하게 쓰인다.

군론[편집]

G의 두 원소 g와 h에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.

여기서, 두 원소 에 대한 교환법칙이 성립한다는 것은 군의 동일함과 같다(즉, ).

G의 부분군은 G의 교환자 부분군이라 불리는 모든 교환자에 의해 생성된다. 일반적으로 교환자의 집합은 군 연산에 대해 닫혀있지 않으므로 어떤 교환자의 집합에 의해 생성된 부분군을 고려할 때는 유의하자. 또한, 교환자는 멱영군 또는 가해군을 정의하는 데 쓰일 수도 있다.

위의 정의는 주로 군론에서 사용하는 정의이다. 많은 수학자들은 교환자를 다음과 같이 정의하여 사용하기도 한다.

성질[편집]

군론에서의 교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[1] 여기서 라 표기된 부분은 를 나타낸다.

  • and
  • and

여기서 마지막 성질은 홀-위트 항등식으로도 알려져 있다. 이는 환론에서의 교환자에서의 야코비 항등식과 유사한 군론에서의 항등식이다.

위에서 에 대한 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 다른 수학자들은 위를 로 정의하여 사용하기도 한다. 이는 보통 로 나타낸다. 비슷한 성질이 이 정의에서도 성립한다.

A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. 이는 가해군멱영군을 다룰 때 유용하다. 예를 들어, 어떤 의 제곱은 다음과 같이 행동한다.

만약 교환자 부분군이 중심이면,

이 된다.

등급환과 등급대수[편집]

등급대수(graded algebra)에서는 교환자가 동차의 성분으로 정의되는 차수 붙은 교환자로 주로 대체된다.

미분[편집]

다중의 교환자를 다루는 특별한 경우엔, 다음과 같은 딸림표현이 유용하게 사용되기도 한다.

이 때, 미분이 되고 선형 (즉, 이고 ) 이 되고, 리 대수 준동형 (즉 ) 이 된다. 하지만 이는 언제나 대수 준동형 (다음 항등식 일반적으로 성립하지 않는다.)이 되진 않는다

예 :

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. McKay, Susan (2000), Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, MR1802994, ISBN 978-0-902480-17-9, p. 4

참고문헌[편집]