중심 (대수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(군의 중심에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

추상대수학에서, 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의[편집]

이항 연산 \cdot을 가진 대수 구조 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X중심 Z(X)은 다음과 같은 부분 집합이다.

\{z\in X\colon x\cdot z=z\cdot x\forall x\in X\}

일부 대수 구조의 경우, 이는 X의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 Z인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸[*]의 머릿글자다.

성질[편집]

만약 이항 연산에 대한 항등원 x\cdot1=1\cdot x=x이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

1\in Z(X)

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 z\in Z(X)에 대하여 역원 z^{-1}\cdot z=z\cdot z^{-1}=1이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

z\in Z(X)\implies z^{-1}\in Z(X)

이는 임의의 x\in X에 대하여

z^{-1}\cdot x=z^{-1}\cdot x\cdot z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z\cdot x\cdot z^{-1}=x\cdot z^{-1}

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

주요 대수 구조의 중심[편집]

군의 중심[편집]

G의 중심 Z(G)G정규 부분군을 이룬다. 하지만 이는 항상 아벨 군을 이루지는 않는다. 아벨 군의 경우, Z(G)=G이다.

모노이드의 중심[편집]

모노이드 (M,\cdot)의 중심 Z(M)은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, Z(M)=M이다.

환의 중심[편집]

유사환 (R,+,\cdot)의 중심은 곱셈 \cdot에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, RZ(R) 위의 결합 대수를 이룬다.

(R,+,\cdot)의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며,RZ(R) 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 D의 중심 Z(D)를 이루며, D는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

[편집]

군의 중심[편집]

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

중심
사원수군 Q_8 \{+1,-1\}
대칭군 \operatorname{Sym}(n) (n\ge3) 자명군
교대군 \operatorname{Alt}(n) (n\ge4) 자명군
일반선형군 \operatorname{GL}(n;K) \{aI_{n\times n}\colon a\in K\setminus\{0\}\}
직교군 \operatorname{O}(n;K) \{\pm I_{n\times n}\}

환의 중심[편집]

사원수나눗셈환 \mathbb H의 중심은 실수체 \mathbb R이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 \operatorname{Mat}(n;K)의 중심은 스칼라 행렬

Z(\operatorname{Mat}(n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K

이다. 행렬환은 이에 따라 K 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]