중심 (대수학)

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추상대수학에서, 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의[편집]

이항 연산 을 가진 대수 구조 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 중심 은 다음과 같은 부분 집합이다.

일부 대수 구조의 경우, 이는 의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸[*]의 머릿글자다.

성질[편집]

만약 이항 연산에 대한 항등원 이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 에 대하여 역원 이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

이는 임의의 에 대하여

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

주요 대수 구조의 중심[편집]

군의 중심[편집]

의 중심 정규 부분군을 이룬다. 하지만 이는 항상 아벨 군을 이루지는 않는다. 아벨 군의 경우, 이다.

모노이드의 중심[편집]

모노이드 의 중심 은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, 이다.

환의 중심[편집]

유사환 의 중심은 곱셈 에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, 위의 결합 대수를 이룬다.

의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며, 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 의 중심 를 이루며, 는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

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군의 중심[편집]

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

중심
사원수군
대칭군 () 자명군
교대군 () 자명군
일반선형군
직교군

환의 중심[편집]

사원수나눗셈환 의 중심은 실수체 이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 의 중심은 스칼라 행렬

이다. 행렬환은 이에 따라 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]