정이면체군

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결정의 대칭군은 정이면체군 이다.
은 정팔각형의 대칭군이다.

군론에서, 정이면체군(正二面體群, 영어: dihedral group)은 정다각형대칭군유한군이다.

정의[편집]

아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군(영어: generalized dihedral group) 는 다음과 같은 반직접곱이다.

여기서 는 크기가 2인 유일한 이며, 군의 작용 는 다음과 같다.

정이면체군

순환군 에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군(영어: infinite dihedral group)

무한 순환군 에 대한 일반화 정이면체군이다.

표시[편집]

정이면체군 은 다음과 같은 표시를 갖는다.

정이면체군 은 간혹 이나 으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 은 다음과 같은 표시를 갖는다.

성질[편집]

일반화 정이면체군[편집]

일반적으로, 일반화 정이면체군 의 크기는 의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 의 원소들은 모두 또는 의 꼴이다 (). 이 경우, 꼴의 원소들의 집합은 와 동형인 지표가 2인 정규부분군을 이루며, 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, 이다.

켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 에 대하여,

유한 정이면체군[편집]

평면에서, 각형대칭군이다. 여기서, 군의 표시에서 는 (반시계방향으로) 라디안 회전 대칭에, 는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군 은 총 개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

다른 이름
자명군 0
2차 순환군
클라인 4원군
대칭군

인 경우, 아벨 군이 아니다.

무한 정이면체군[편집]

무한 정이면체군 는 정수의 집합 대칭군이다.

무한 정이면체군 는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]