정이면체군

$\operatorname {Dih} _{8}$ 은 정팔각형의 대칭군이다.

군론에서 정이면체군(正二面體群, 영어: dihedral group)은 정다각형의 대칭군인 유한군이다.

정의

$H$ 가 아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군(영어: generalized dihedral group) $\operatorname {Dih} (H)$ 는 다음과 같은 반직접곱이다.

\operatorname {Dih} (H)\cong H\rtimes _{\phi }(\mathbb {Z} /2)

여기서 $\mathbb {Z} /2=\{0,1\}$ 는 크기가 2인 유일한 군이며, 군의 작용 $\phi \colon \mathbb {Z} /2\times H\to H$ 는 다음과 같다.

\phi _{0}\colon h\mapsto h

\phi _{1}\colon h\mapsto -h

정이면체군

\operatorname {Dih} _{n}=\operatorname {Dih} (\mathbb {Z} /n)

은 순환군 $\mathbb {Z} /n$ 에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군(영어: infinite dihedral group)

\operatorname {Dih} _{\infty }=\operatorname {Dih} (\mathbb {Z} )

은 무한 순환군 $\mathbb {Z}$ 에 대한 일반화 정이면체군이다.

표시

정이면체군 $\operatorname {Dih} _{n}$ 은 다음과 같은 표시를 갖는다.

\operatorname {Dih} _{n}\cong \langle r,s|r^{n}=s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle

정이면체군 $\operatorname {Dih} _{n}$ 은 간혹 $D_{n}$ 이나 $D_{2n}$ 으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 $\operatorname {Dih} _{\infty }$ 은 다음과 같은 표시를 갖는다.

\operatorname {Dih} _{\infty }\cong \langle r,s|s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle

성질

일반화 정이면체군

일반적으로, 일반화 정이면체군 $\operatorname {Dih} (H)$ 의 크기는 $H$ 의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 $\operatorname {Dih} (H)=H\rtimes (\mathbb {Z} /2)$ 의 원소들은 모두 $(h,0)$ 또는 $(h,1)$ 의 꼴이다 ( $h\in H$ ). 이 경우, $(h,0)$ 꼴의 원소들의 집합은 $H$ 와 동형인 $\operatorname {Dih} (H)$ 의 지표가 2인 정규 부분군을 이루며, $(h,1)$ 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, $(h,1)\cdot (h,1)=(0,0)$ 이다.

$\operatorname {Dih} (H)$ 의 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 $h\in H$ 에 대하여,

$\{(h,0),(-h,0)\}$
$\{(h+2k,0)|k\in H\}$

유한 정이면체군

평면에서, 정 $n$ 각형의 대칭군은 $\operatorname {Dih} _{n}$ 이다. 여기서, 군의 표시에서 $r$ 는 (반시계방향으로) $2\pi /n$ 라디안 회전 대칭에, $s$ 는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군 $\operatorname {Dih} _{n}$ 은 총 $2n$ 개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

1,r,r^{2},\dots ,r^{n-1},s,sr,sr^{2},\dots ,sr^{n-1}

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

군	다른 이름
$\operatorname {Dih} _{0}$	자명군 0
$\operatorname {Dih} _{1}$	2차 순환군 $\mathbb {Z} /2$
$\operatorname {Dih} _{2}$	클라인 4원군 $\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2$
$\operatorname {Dih} _{3}$	대칭군 $\operatorname {Sym} _{3}$
$\operatorname {Dih} _{6}$	$\operatorname {Dih} _{3}\times (\mathbb {Z} /2)$

더 일반적으로, 만약 $n\equiv 2{\pmod {4}}$ 라면,

\operatorname {Dih} _{n}\cong \operatorname {Dih} _{n/2}\times (\mathbb {Z} /2)

이다.

멱영군일 조건

$n\geq 3$ 인 경우, $\operatorname {Dih} _{n}$ 은 아벨 군이 아니다.

모든 $\operatorname {Dih} _{n}$ 은 가해군이다.

$n\geq 1$ 인 경우, $\operatorname {Dih} _{n}$ 이 멱영군일 필요충분조건은 $n\in \{2^{0},2^{1},\dots \}$ 이다. $k\geq 1$ 에 대하여, $\operatorname {Dih} _{2^{k}}$ 는 $k$ 류 멱영군이다.^[1]^{: 191, Example}

자기 동형

$n\geq 2$ 인 경우, $\operatorname {Dih} _{n}$ 의 자기 동형군은 다음과 같다.

\operatorname {Aut} (\operatorname {Dih} _{n})\cong {\begin{cases}\operatorname {Sym} _{3}&n=2\\\mathbb {Z} /n\rtimes (\mathbb {Z} /n)^{\times }&n\geq 3\end{cases}}

여기서 $(-)^{\times }$ 는 가역원군이며, 우변의 반직접곱의 군의 작용은 $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ 와 $\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} /n)$ 사이의 표준적인 동형이다. 특히, $n\geq 3$ 인 경우 $\operatorname {Dih} _{n}$ 의 자기 동형 사상의 수는 $n\phi (n)$ 이다. 여기서 $\phi$ 는 오일러 피 함수이다. 구체적으로, $(a,b)\in \mathbb {Z} /n\rtimes (\mathbb {Z} /n)^{\times }$ 는 $s$ 를 $sr^{a}$ 로, $r$ 를 $r^{b}$ 로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다.