자유곱

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추상대수학에서, 자유곱(自由곱, 영어: free product)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체범주에서의 쌍대곱이다.

정의[편집]

자유곱대수 구조 다양체의 범주에서의 쌍대곱이다.

구체적으로, 연산 를 갖는 대수 구조 다양체 속의 두 대수 구조 자유곱 은 다음과 같다.

우선, 집합 로 생성되는 자유 대수 를 생각하자. 이제, 에서 성립하는 모든 대수적 관계

에서 성립하는 모든 대수적 관계

들의 집합을

라고 하고, 를 포함하는 최소의 합동 관계

이라고 하자. 그렇다면

이다.

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군의 자유곱[편집]

대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

및 3차 순환군

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

이 경우, 보통 로 정의한다.

무한 정이면체군

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

환의 자유곱[편집]

환의 대수 구조 다양체에서, 환 의 자유곱은 비가환 다항식환

이다. 이는 텐서 대수 와 동형이다.

가환환의 자유곱[편집]

가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 의 자유곱은 다항식환

이다.

자유곱이 자명한 대수[편집]

아벨 군 또는 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 꼴로 자명하기 때문이다.

외부 링크[편집]