모듈러 군

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수학에서, 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 .

정의[편집]

모듈러 군 는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다.

.

즉, 이는 순환군 자유곱이다.

.

모듈러 군은 상반평면 유리 함수작용한다. 이 경우 생성원 , 의 작용은 다음과 같다.

.

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.

. ()

이 경우 행렬 의 작용이 같으므로, 이는 의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(영어: fundamental domain)은 다음과 같다.

ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

합동 부분군[편집]

모듈러 군은 합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된) 을 부분군으로 가지는 의 부분군 이다. 이 경우, 이러한 최소 을 합동 부분군 준위(영어: level 레벨[*], 독일어: Stufe 슈튜페[*])라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 , , 이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.

모듈러 군 Γ(N)[편집]

모듈러 군 주합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다. 가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

군 준동형레벨 N의 주합동 부분군 이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

구체적으로, 은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

에 대하여,

특히, Λ 모듈러 군(영어: modular group Λ)라고 불린다. 이 경우 은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉, 지표가 6인 부분군이다.

모듈러 군 Γ1(N)[편집]

모듈러 군 Γ1(N)의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

에 대하여,

모듈러 군 Γ0(N)[편집]

모듈러 군 Γ0(N)의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

에 대하여,

즉, 위와 같이 와 같은 군 준동형에서, 상삼각행렬인 원소들이다. 의 부분군이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]