뫼비우스 변환

복소해석학과 기하학에서 뫼비우스 변환(Möbius transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$.

여기서 $a,b,c,d$ 는 복소상수이며 $ad-bc\neq 0$ 를 만족해야 한다. (만약 $ad-bc=0$ 이면 이 함수는 상수 함수가 된다.)

저자에 따라 위 함수를 뫼비우스 변환 대신 선형 분수 변환(linear fractional transformation)이나 일차 분수 변환, 혹은 드물게 쌍선형 변환(bilinear transformation)으로 정의하기도 하지만, 뫼비우스 변환을 선형 분수 변환의 특별한 예시($a,b,c,d$ 는 복소수체의 원소)로 보는 게 일반적이다. (뫼비우스 변환은 선형 변환이 아님을 유의해야 한다.)

뫼비우스 변환은 리만 구의 자기동형사상이다. 뫼비우스 변환은 군을 이루며, 이를 뫼비우스 군(Möbius group)이라고 한다. 이는 2차원 복소수 사영 특수 선형군 $PSL(2,\mathbb {C} )$과 동형이다.

같이 보기

• 공형기하학
• 푹스군
• 쌍곡기하학
• 클라인 부분군
• 로런츠 군
• 모듈러 군
• 사영기하학
• 스미스 차트

참고 문헌

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Möbius Group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

외부 링크

• (영어) Douglas Arnold, Jonathan Rogness (2007). “Möbius transformations revealed”. 2008년 10월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2008년 10월 26일에 확인함.  뫼비우스 변환에 대한 비디오
  • Benjamin Lester, Kai-hung Fung, Andrea Ottesen, Adam C. Siegel, George M. Whitesides, David J. Willis, Mykhaylo Kostandov, Mark McGowan, David Goodsell, Carl Wieman, team PhET, Cathryn Tune, Samantha Belmont, Donna DeSmet, Jason Guerrero, Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness, Gregory W. Shirah, Lori K. Perkins (2007년 9월 28일). “2007 Visualization Challenge Winners”. 《Science》 317 (5846): 1858–1863. doi:10.1126/science.317.5846.1858.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)