꼬임군 (위상수학)

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위상수학에서, 꼬임군(-群, 영어: braid group)은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 이다. 대칭군의 일반화로 볼 수 있다.

정의[편집]

n가닥의 꼬임군 은 다음과 같은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소들을 꼬임(영어: braid)이라고 한다.

첫 번째 관계에서는 이고, 두 번째 관계에서는 이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 번째 가닥과 번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어, 의 생성원은 다음과 같다.

Braid s1.png Braid s2.png Braid s3.png
σ1 σ2 σ3

이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.

Braid s3.png · Braid s2.png = Braid s3s2.png
· =

이 경우, 군 표시에서의 관계

는 꼬임의 합성의 호모토피적 동치 관계이다.

무한 꼬임군[편집]

꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 무한 꼬임군 을 얻는다.

드오르누아 순서[편집]

꼬임군 위에는 드오르누아 순서(영어: Dehornoy order)라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은 들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한 가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.

  • 문자열은 를 포함한다.
  • 모든 에 대하여, 문자열은 를 포함하지 않는다.
  • 모든 에 대하여, 문자열은 를 포함하지 않는다.

이러한 원소들의 집합을 라고 하면, 이며, 꼬임군은

이다.

성질[편집]

꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든 에 대하여, 은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.

몫군[편집]

꼬임군의 아벨화무한 순환군이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다.

꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.

중심[편집]

일 때, 꼬임군 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.[1]:§4.3

일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.

[편집]

낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.

꼬임군 동형인 군
자명군
자명군
무한 순환군
세잎매듭매듭군 , 모듈러 군중심 확대

3차 꼬임군[편집]

3가닥의 꼬임군 은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 31매듭군 과 동형이며, 또 모듈러 군 중심 확대이다. 이 경우 다음과 같은 가환그림이 존재한다.

Braid-modular-group-cover.svg

여기서 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 따라서 모듈러 군은 의 그 중심에 대한 몫군과 동형이다.

참고 문헌[편집]

  1. “Basic results on braid groups” (영어). arXiv:1010.0321. 

외부 링크[편집]