꼬임군 (위상수학)

이 문서는 위상수학에서의 꼬임군(braid group)에 관한 것입니다. 대수학에서 유한 차수의 원소들의 군(torsion group)에 대해서는 꼬임 부분군 문서를 참고하십시오.

위상수학에서 꼬임군(-群, 영어: braid group)은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 군이다. 대칭군의 일반화로 볼 수 있다.

정의

n가닥의 꼬임군 $\operatorname {Braid} (n)$은 다음과 같은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소들을 꼬임(영어: braid)이라고 한다.

$\operatorname {Braid} (n)=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle$

첫 번째 관계에서는 $i=1,2,\dots ,n-2$이고, 두 번째 관계에서는 $|i-j|\geq 2$이다.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. $\sigma _{i}$를 $i$번째 가닥과 $i+1$번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어, $\operatorname {Braid} (4)$의 생성원은 다음과 같다.

σ1	σ2	σ3

이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.

	·		=
$\sigma _{3}$	·	$\sigma _{2}$	=	$\sigma _{3}\sigma _{2}$

이 경우, 군 표시에서의 관계

$\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}$

$\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (|i-j|\geq 2)$

는 꼬임의 합성의 호모토피적 동치 관계이다.

무한 꼬임군

꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\operatorname {Braid} (n)\hookrightarrow \operatorname {Braid} (n+1)$

$\sigma _{i}^{(n)}\mapsto \sigma _{i}^{(n+1)}$

이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 무한 꼬임군 $\operatorname {Braid} (\infty )$을 얻는다.

$\operatorname {Braid} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {Braid} (n)$

드오르누아 순서

꼬임군 $\operatorname {Braid} (n)$ 위에는 드오르누아 순서(영어: Dehornoy order)라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은 $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}$들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한 $i\in \{1,\dots ,n-1\}$가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.

• 문자열은 $\sigma _{i}$를 포함한다.
• 모든 $j<i$에 대하여, 문자열은 $\sigma _{j}$를 포함하지 않는다.
• 모든 $j\leq i$에 대하여, 문자열은 $\sigma _{j}^{-1}$를 포함하지 않는다.

이러한 원소들의 집합을 $P$라고 하면, $PP\subseteq P$이며, 꼬임군은

$\operatorname {Braid} (n)=P\sqcup P^{-1}\sqcup \{1\}$

이다.

성질

꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든 $n\geq 2$에 대하여, $\operatorname {Braid} (n)$은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.

몫군

꼬임군의 아벨화는 무한 순환군이다.

$\operatorname {H} _{1}(\operatorname {Braid} (n),\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$

구체적으로, 이는 다음과 같다.

$\sigma _{i}\mapsto 1\qquad (i=1,\dots ,n-1)$

$\sigma _{i}^{-1}\mapsto -1\qquad (i=1,\dots ,n-1)$

꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.

$\operatorname {Braid} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {Sym} (n)=\operatorname {Sym} (\{1,2,\dots ,n\})$

$\sigma _{i}\mapsto (i,i+1)\qquad (i=1,\dots ,n-1)$

$\sigma _{i}^{-1}\mapsto (i,i+1)\qquad (i=1,\dots ,n-1)$

중심

$n\geq 3$일 때, 꼬임군 $\operatorname {Braid} (n)$의 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.^:§4.3

$\left(\sigma _{1}(\sigma _{2}\sigma _{1})\cdots (\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\cdots \sigma _{1})\right)^{2}$

$n\leq 2$일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.

예

낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.

꼬임군	동형인 군
$\operatorname {Braid} (0)$	자명군
$\operatorname {Braid} (1)$	자명군
$\operatorname {Braid} (2)$	무한 순환군 $\mathbb {Z}$
$\operatorname {Braid} (3)$	세잎매듭의 매듭군 $\pi _{1}(S^{3}\setminus 3_{1})$, 모듈러 군의 중심 확대

3차 꼬임군

3가닥의 꼬임군 $\operatorname {Braid} (3)$은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 3₁의 매듭군 $\pi _{1}(S^{3}\setminus 3_{1})$과 동형이며, 또 모듈러 군 $\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$의 중심 확대이다. 이 경우 다음과 같은 가환그림이 존재한다.

여기서 ${\overline {\operatorname {SL} (2;\mathbf {R} )}}$은 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )$의 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 따라서 모듈러 군은 $\operatorname {Braid} (n)$의 그 중심에 대한 몫군과 동형이다.

$\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )=\operatorname {Braid} (n)/\operatorname {Z} (\operatorname {Braid} (n))$

참고 문헌

• Kassel, Christian; Vladimir Turaev (2008). 《Braid groups》 (영어). Springer. ISBN 0-387-33841-1. 
• Deligne, Pierre (1972). “Les immeubles des groupes de tresses généralisés”. 《Inventiones Mathematicae》 (프랑스어) 17 (4): 273–302. doi:10.1007/BF01406236. ISSN 0020-9910. MR 0422673. Zbl 0238.20034. 
• Birman, Joan; Tara E. Brendle (2005). “Braids: a survey” (영어). arXiv:math/0409205. Bibcode:2004math......9205B. 
• Carlucci, Lorenzo; Patrick Dehornoy, Andreas Weiermann (2011). “Unprovability results involving braids”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 102 (1): 159–192. arXiv:0711.3785. Bibcode:2007arXiv0711.3785C. doi:10.1112/plms/pdq016. Zbl 1225.03079. 

외부 링크

• Chernavskii, A.V. (2001). “Braid theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Braid group”. 《nLab》 (영어). 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid word”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Braid index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.